Какова линейная производная функция и предельная производительность каждого ресурса, если предприятие производит

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать понятие линейной производной и предельной производительности ресурсов.

Для начала определим линейную функцию производства в зависимости от количества станков \(x\) и количества работников \(y\). Пусть \(P\) - это количество продукции.

Из условия задачи мы знаем, что при \(x = 10\) и \(y = 20\) выпуск продукции составляет 100 единиц, а при \(x = 12\) и \(y = 20\) выпуск составляет 110 единиц. Это позволяет нам сформулировать следующие уравнения:

\[P_1 = 100 = k \cdot 10 + m \cdot 20\]
\[P_2 = 110 = k \cdot 12 + m \cdot 20\]

Где \(k\) и \(m\) - коэффициенты, определяющие зависимость между числом станков, числом работников и выпуском продукции.

Также из условия задачи мы знаем, что при \(x = 10\) и \(y = 22\) выпуск продукции составляет 115 единиц. Это позволяет нам составить ещё одно уравнение:

\[P_3 = 115 = k \cdot 10 + m \cdot 22\]

Чтобы найти значения коэффициентов \(k\) и \(m\), решим систему уравнений, составленную из вышеперечисленных уравнений.

Для этого выразим \(k\) и \(m\) из первых двух уравнений:

\[k = \frac{{P_2 - P_1}}{{12 - 10}} = \frac{{110 - 100}}{{12 - 10}} = 5\]
\[m = \frac{{P_1 - k \cdot x}}{{20}} = \frac{{100 - 5 \cdot 10}}{{20}} = 5\]

Подставив найденные значения \(k\) и \(m\) в третье уравнение, получим:

\[115 = 5 \cdot 10 + 5 \cdot 22\]

Таким образом, мы нашли значения коэффициентов \(k\) и \(m\), которые определяют зависимость выпуска продукции от количества станков и работников.

Теперь найдем линейную производную функции производства \(P\) по каждому из ресурсов.

Для этого возьмем производную от функции \(P\) по \(x\) при фиксированном \(y\):

\[\frac{{dP}}{{dx}} = k = 5\]

Это означает, что при увеличении количества станков на один, производительность увеличивается на 5 единиц продукции.

Аналогично, возьмем производную от функции \(P\) по \(y\) при фиксированном \(x\):

\[\frac{{dP}}{{dy}} = m = 5\]

Это означает, что при увеличении количества работников на одного, производительность также увеличивается на 5 единиц продукции.

Таким образом, линейная производная функция \(P\) равна 5 по каждому из ресурсов. Предельная производительность каждого ресурса составляет 5 единиц продукции.