Какое значение имеет выражение 2а³ с⁸р⁴, если значения переменных а, с и р таковы, что а³с²=3 и 1/3с³p²=5?

Давайте решим данную задачу шаг за шагом. У нас дано, что \( а^3 с^2 = 3 \) и \( \frac{1}{3} с^3 p^2 = 5 \). Нам нужно найти значение выражения \( 2а^3 с^8 р^4 \).

Шаг 1: Найдем значения переменных.
Начнем с первого уравнения: \( а^3 с^2 = 3 \).
Мы можем записать его в виде \( а^3 = \frac{3}{c^2} \) и возвести обе части в степень \( \frac{1}{3} \), чтобы избавиться от степени \( а \).
Таким образом, получим \( а = \left(\frac{3}{c^2}\right)^{\frac{1}{3}} \).

Перейдем ко второму уравнению: \( \frac{1}{3} с^3 p^2 = 5 \).
Здесь мы можем выразить с в зависимости от p: \( с^3 = \frac{15}{p^2} \).
Таким образом, получим \( с = \left(\frac{15}{p^2}\right)^{\frac{1}{3}} \).

Шаг 2: Подставим найденные значения переменных в исходное выражение.
Теперь, когда мы знаем значения переменных, мы можем подставить их в исходное выражение: \( 2а^3 с^8 р^4 \).
Заменяем \( а \) и \( с \):
\[ 2\left(\frac{3}{c^2}\right)^{\frac{1}{3}} с^8 р^4 \]
\[ 2\left(\frac{3}{\left(\frac{15}{p^2}\right)^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{15}{p^2}\right)^{\frac{8}{3}} р^4 \]

Шаг 3: Упрощение выражения.
Чтобы упростить данное выражение, можно сократить степени и произвести несколько математических действий.
\[ 2\left(\frac{3}{\left(\frac{15}{p^2}\right)^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{15}{p^2}\right)^{\frac{8}{3}} р^4 \]
\[ 2\left(\frac{3}{\frac{15^{\frac{2}{3}}}{(p^2)^{\frac{2}{3}}}}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{15^{\frac{8}{3}}}{(p^2)^{\frac{8}{3}}} р^4 \]
\[ 2\left(\frac{3(p^2)^{\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{15^{\frac{8}{3}} р^4}{(p^2)^{\frac{8}{3}}}\right) \]
\[ 2\left(\frac{3(p^2)^{\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{15^{\frac{8}{3}} р^4}{p^{\frac{16}{3}}}\right) \]

Шаг 4: Выполняем вычисления.
Продолжим упрощение и выполним вычисления, при необходимости используя калькулятор или программу для вычисления степеней и корней.
\[ 2\left(\frac{3(p^2)^{\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{15^{\frac{8}{3}} р^4}{p^{\frac{16}{3}}}\right) \]
\[ 2\left(\frac{3p^{\frac{4}{3}}}{15^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{15^{\frac{8}{3}} р^4}{p^{\frac{16}{3}}}\right) \]
\[ 2\left(\frac{p^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{15^{\frac{8}{3}} р^4}{p^{\frac{16}{3}}}\right) \]
\[ 2\left(\frac{p^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{15^{\frac{8}{3}}}{p^{\frac{8}{3}}}\right) р^4 \]
\[ 2\left(\frac{p^{\frac{4}{3}}}{(5^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}}\right) \left(\frac{15^{\frac{8}{3}}}{p^{\frac{8}{3}}}\right) р^4 \]
\[ 2\left(\frac{p^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{2}{9}}}\right) \left(\frac{15^{\frac{8}{3}}}{p^{\frac{8}{3}}}\right) р^4 \]
\[ 2\frac{p^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{2}{9}}} \frac{15^{\frac{8}{3}}}{p^{\frac{8}{3}}} р^4 \]
\[ 2 \cdot p^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{-\frac{2}{9}} \cdot 15^{\frac{8}{3}} \cdot p^{-\frac{8}{3}} р^4 \]
\[ 2 \cdot 5^{-\frac{2}{9}} \cdot 15^{\frac{8}{3}} \cdot p^{\frac{4}{3} - \frac{8}{3}} \cdot р^4 \]
\[ 2 \cdot 5^{-\frac{2}{9}} \cdot 15^{\frac{8}{3}} \cdot p^{-\frac{4}{3}} \cdot р^4 \]

Таким образом, значение выражения \( 2а^3 с^8 р^4 \) при условии \( а^3с^2 = 3 \) и \( \frac{1}{3}с^3p^2 = 5 \) равно \( 2 \cdot 5^{-\frac{2}{9}} \cdot 15^{\frac{8}{3}} \cdot p^{-\frac{4}{3}} \cdot р^4 \).