Какое значение имеет производная функции f(x)=2x+ctgx в точке x0=π/6?

Определение производной функции f(x) в точке x₀ позволяет вычислить угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Для вычисления производной функции f(x)=2x+ctgx в точке x₀=π/6, воспользуемся правилами дифференцирования.

1. Производная суммы: Если u(x) и v(x) — дифференцируемые функции от x, то (u(x) + v(x))" = u"(x) + v"(x).
В данной задаче у нас есть два слагаемых: 2x и ctgx. Дифференцируем их по отдельности.

2. Производная произведения функций: Если u(x) и v(x) — дифференцируемые функции от x, то (u(x) * v(x))" = u"(x) * v(x) + u(x) * v"(x).
Здесь у нас произведение 2x и ctgx, поэтому применяем правило производной произведения.

Давайте вычислим производные каждого слагаемого.

a) Производная функции 2x:
Применяем правило производной произведения и получаем (2x)" = 2 * (x)" = 2.

b) Производная функции ctgx:
Для нахождения производной ctgx воспользуемся тригонометрическим тождеством:
(ctgx)" = (-sinx/cos²x)" = (-1/cos²x)" * sinx + (-sinx)" * (1/cos²x).
Дифференцируем первое и второе слагаемое отдельно.

(1/cos²x)" = -2sinx/cos³x. (Вычисление можно найти в разделе "Производные тригонометрических функций".)

(-sinx)" = -cosx. (Вычисление можно найти в разделе "Производная синуса".)

Подставляем полученные значения:

(ctgx)" = (-1/cos²x)" * sinx + (-sinx)" * (1/cos²x)
= (-2sinx/cos³x) * sinx + (-cosx) * (1/cos²x)
= -2sin²x/cos³x - cosx/cos²x
= -(2sin²x + cosx)/cos³x.

Теперь сложим производные слагаемых:

f"(x) = (2x)" + (ctgx)" = 2 + (-(2sin²x + cosx)/cos³x).

Теперь можем вычислить значение производной f"(x₀) в точке x₀=π/6:

f"(π/6) = 2 + (-(2sin²(π/6) + cos(π/6))/cos³(π/6))
= 2 + (-(2*(1/4) + √3/2))/(√3/2)
= 2 + (-(1/2 + √3/2))/(√3/2)
= 2 - (1 + √3)/(2√3)
= (4 - 1 - √3)/(2√3)
= (3 - √3)/(2√3).

Таким образом, значение производной функции f(x)=2x+ctgx в точке x₀=π/6 составляет (3 - √3)/(2√3).