Какие интервалы представляют выпуклость вверх (вниз) графика функции y=5x - sin2x?

Чтобы определить интервалы, на которых график функции \(y = 5x - \sin^2x\) выпукл вверх или вниз, нам нужно проанализировать вторую производную функции.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(y = 5x - \sin^2x\). Для этого продифференцируем функцию по переменной \(x\):

\[y" = \frac{d}{dx}(5x - \sin^2x).\]

Упростив это выражение, получим:

\[y" = 5 - 2\sin(x)\cos(x).\]

Шаг 2: Теперь найдем вторую производную. Продифференцируем первую производную \(y"\) по переменной \(x\):

\[y"" = \frac{d}{dx}(5 - 2\sin(x)\cos(x)).\]

Производная может быть упрощена следующим образом:

\[y"" = -2(\cos^2(x) - \sin^2(x)).\]

Шаг 3: Теперь определим интервалы, на которых график функции выпукл вверх или вниз. Для этого проанализируем знак второй производной \(y""\).

Выполняя простой анализ, можно установить, что знак второй производной будет зависеть от \(x\). В частности, график функции \(y = 5x - \sin^2x\) будет выпукл вверх на интервалах, где \(\cos^2x < \sin^2x\), и выпукл вниз на интервалах, где \(\sin^2x < \cos^2x\).

Учитывая, что \(\cos^2x + \sin^2x = 1\), мы можем переписать условия следующим образом:

1) Для выпуклости вверх: \(1 - \cos^2x < \sin^2x\).

2) Для выпуклости вниз: \(1 - \sin^2x < \cos^2x\).

Шаг 4: Решим неравенства, чтобы найти интервалы выпуклости. Применим алгебраические преобразования и учитывая свойства тригонометрии, получим следующие неравенства:

1) Для выпуклости вверх: \(\cos^2x < \frac{1}{2}\).

2) Для выпуклости вниз: \(\sin^2x < \frac{1}{2}\).

Шаг 5: Решим каждое из полученных неравенств.

1) Решение неравенства \(\cos^2x < \frac{1}{2}\):

Корни этого неравенства можно найти, используя равенство \(\cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). Подставив его, получим:

\(\frac{1 + \cos(2x)}{2} < \frac{1}{2}\).

Упростив данное выражение, получим:

\(\cos(2x) < 0\).

Значения \(x\), удовлетворяющие данному неравенству, находятся в интервалах:

\(\left(-\frac{\pi}{4} + k\cdot\pi, \frac{\pi}{4} + k\cdot\pi\right), k \in \mathbb{Z}\).

2) Решение неравенства \(\sin^2x < \frac{1}{2}\):

Корни этого неравенства можно найти, используя равенство \(\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). Подставив его, получим:

\(\frac{1 - \cos(2x)}{2} < \frac{1}{2}\).

Упростив данное выражение, получим:

\(\cos(2x) > 0\).

Значения \(x\), удовлетворяющие данному неравенству, находятся в интервалах:

\(\left(0 + k\cdot\pi, \frac{\pi}{2} + k\cdot\pi\right), k \in \mathbb{Z}\).

Таким образом, мы нашли интервалы, на которых график функции \(y = 5x - \sin^2x\) выпукл вверх и вниз:

- График выпукл вверх на интервалах \(\left(-\frac{\pi}{4} + k\cdot\pi, \frac{\pi}{4} + k\cdot\pi\right), k \in \mathbb{Z}\).

- График выпукл вниз на интервалах \(\left(0 + k\cdot\pi, \frac{\pi}{2} + k\cdot\pi\right), k \in \mathbb{Z}\).