Какое значение должно быть у многоточия в выражении (x-8)(x . .), чтобы после приведения к стандартному виду

Давайте решим эту задачу пошагово.

Дано: (x-8)(x...), где многоточие обозначает некоторое число, которое мы должны найти.

Мы хотим, чтобы после приведения к стандартному виду произведение содержало определенное количество одночленов.

а) Чтобы получить 4 одночлена, мы должны разложить выражение на два множителя, каждый из которых будет содержать 2 одночлена.

Одно из возможных решений:
(x-8)(x+2)(x+3)

Раскроем скобки:
(x-8)(x+2)(x+3) = x(x+2)(x+3) - 8(x+2)(x+3)

Раскроем скобки в каждом слагаемом:
x(x+2)(x+3) = x(x^2 + 3x + 2x + 6)
8(x+2)(x+3) = 8(x^2 + 3x + 2x + 6)

Соберем все слагаемые:
x(x^2 + 3x + 2x + 6) - 8(x^2 + 3x + 2x + 6)
= x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 6x - 8x^2 - 24x - 16x - 48

Сократим подобные слагаемые:
= x^3 - 3x^2 - 32x - 48

Как видно из выражения, мы получили 4 одночлена.

б) Чтобы получить 3 одночлена, мы должны разложить выражение на два множителя, каждый из которых будет содержать 3 одночлена.

Одно из возможных решений:
(x-8)(x^2 + 3x + 11)

Раскроем скобки:
(x-8)(x^2 + 3x + 11) = x(x^2 + 3x + 11) - 8(x^2 + 3x + 11)
= x^3 + 3x^2 + 11x - 8x^2 - 24x - 88

Сократим подобные слагаемые:
= x^3 - 5x^2 - 13x - 88

Заметим, что при таком разложении мы получаем 4 одночлена, а не 3.

в) Нет возможности получить 5 одночленов с помощью данного многоточия. Предположим, что многоточие заменяет наше неизвестное число \(a\). Тогда выражение будет иметь вид (x-8)(x+a).

Раскрывая скобки, мы получим:
(x-8)(x+a) = x(x+a) - 8(x+a)
= x^2 + ax - 8x - 8a
= x^2 + (a-8)x - 8a

Чтобы получить 5 одночленов, мы должны иметь коэффициенты при \(x\) и свободный член равные нулю. Однако, это невозможно с нашим текущим выражением. Поэтому, нельзя получить 5 одночленов.

г) Для получения 2 одночленов нам нужно разложить многочлен на два множителя, каждый из которых будет содержать по одному одночлену.

Одно из возможных решений:
(x-8)(x)

Раскроем скобки:
(x-8)(x) = x^2 - 8x

Как видно из выражения, мы получили 2 одночлена.

Таким образом, решение задачи заключается в следующем:
а) Многоточие должно быть \(x+2\) и \(x+3\), тогда произведение будет содержать 4 одночлена.
б) Многоточие должно быть \(x^2 + 3x + 11\), тогда произведение будет содержать 3 одночлена.
в) Невозможно получить 5 одночленов.
г) Многоточие равно \(x\), тогда произведение будет содержать 2 одночлена.