Какое утверждение о функции верно: она имеет верхнюю границу, она имеет нижнюю границу, или она ограничена везде?

Чтобы ответить на ваш вопрос, давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности.

1. У функции есть верхняя граница (упорядоченное множество or, иначе называемое, просто "множество", всегда имеет верхнюю границу).

Для определения, имеет ли функция верхнюю границу, мы должны исследовать все значения функции и найти наибольшее из них. Если такое наибольшее значение существует, то оно будет служить верхней границей для функции.

Например, рассмотрим функцию \(f(x) = x^2\). Если мы возьмем любое положительное значение \(x\), то при возведении его в квадрат мы получим более большое положительное число. Таким образом, эта функция не имеет верхней границы.

2. У функции есть нижняя граница (упорядоченное множество always имеет нижнюю границу).

Аналогично, мы должны исследовать все значения функции и найти наименьшее из них. Если это наименьшее значение существует, оно будет служить в качестве нижней границы для функции.

Рассмотрим функцию \(g(x) = -x^2\). Если мы возьмем любое значение \(x\), то при возведении его в квадрат и умножении на -1, мы получим более малое (отрицательное) число. Таким образом, эта функция также не имеет нижней границы.

3. Функция ограничена всюду.

Функция называется ограниченной, если она имеет и верхнюю границу, и нижнюю границу. Если и верхняя, и нижняя границы существуют, то функция будет ограничена.

Рассмотрим функцию \(h(x) = \sin(x)\). Зная, что значения синуса находятся между -1 и 1 для любого значения \(x\), мы можем сказать, что эта функция ограничена.

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос, является ли утверждение о функции верхней границей, нижней границей или ограниченной везде, мы можем сделать следующие выводы:

- Утверждение 1 неверно, так как функция может не иметь верхней границы.
- Утверждение 2 также неверно, так как функция может не иметь нижней границы.
- Утверждение 3 верно для функций, у которых и верхняя, и нижняя границы существуют.

Надеюсь, это понятно и полезно! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.