Какое уравнение сферы можно составить, если точки A (4; –1; –3) и B (0; 3; –1) являются концами диаметра?

Чтобы составить уравнение сферы с заданными концами диаметра A(4; –1; –3) и B(0; 3; –1), мы можем использовать формулу для уравнения сферы в пространстве.

Для начала, нам нужно найти координаты центра сферы. Центр сферы будет находиться посередине между точками A и B. Для этого мы можем использовать среднее арифметическое значений координат.

\(x_c = \frac{x_A + x_B}{2}\)
\(y_c = \frac{y_A + y_B}{2}\)
\(z_c = \frac{z_A + z_B}{2}\)

Substituting the values of A and B, we have:

\(x_c = \frac{4 + 0}{2} = 2\)
\(y_c = \frac{-1 + 3}{2} = 1\)
\(z_c = \frac{-3 + (-1)}{2} = -2\)

Таким образом, координаты центра сферы равны C(2; 1; -2).

Для нахождения радиуса сферы, нам нужно найти расстояние между центром C и любой из конечных точек A или B. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\(r = \sqrt{(x_A - x_c)^2 + (y_A - y_c)^2 + (z_A - z_c)^2}\)

Substituting the values of A and C, we have:

\(r = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-1 - 1)^2 + (-3 - (-2))^2}\)
\(r = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}\)
\(r = \sqrt{4 + 4 + 1}\)
\(r = \sqrt{9}\)
\(r = 3\)

Таким образом, радиус сферы равен 3.

Итак, уравнение сферы можно записать в виде:
\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 9\)

Такое уравнение описывает сферу с центром в точке C(2; 1; -2) и радиусом 3, которая проходит через точки A(4; -1; -3) и B(0; 3; -1).