Каковы координаты точки с, лежащей на оси оу и равноудаленной от точек а, если известно, что координаты точек а

Данная задача связана с координатной плоскостью и расстояниями между точками. Для решения задачи нам необходимо применить формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Для начала, давайте вспомним формулу расстояния между двумя точками:

\[ d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}} \]

где \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) - координаты двух точек.

В нашем случае, нам даны координаты точек \( A(4, -3, 2) \) и \( B(-1, 0, 0) \). Нам нужно найти точку \( C \), которая равноудалена от точек \( A \) и \( B \) на оси \( OY \).

Так как точка \( C \) лежит на оси \( OY \), то \( x_c = 0 \) и \( z_c = 0 \).

Теперь можем записать формулу для расстояния между точками \( A \) и \( C \):

\[ d_{AC} = \sqrt{{(x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2 + (z_c - z_a)^2}} \]

где \( (x_a, y_a, z_a) \) - координаты точки \( A \).

Так как мы ищем точку, которая равноудалена от точки \( A \), то значение расстояния между точками \( A \) и \( C \) будет равно расстоянию между точками \( B \) и \( C \). Давайте обозначим это расстояние как \( d \).

Таким образом, у нас будет два уравнения:

\[ \begin{cases} d = d_{AC} \\ d = d_{BC} \end{cases} \]

Подставим значения координат точек \( A \) и \( B \) в эти уравнения:

\[ \begin{cases} d = \sqrt{{(0 - 4)^2 + (y_c - (-3))^2 + (0 - 2)^2}} \\ d = \sqrt{{(0 + 1)^2 + (y_c - 0)^2 + (0 - 0)^2}} \end{cases} \]

Упростим уравнения:

\[ \begin{cases} d = \sqrt{16 + (y_c + 3)^2 + 4} \\ d = \sqrt{1 + y_c^2} \end{cases} \]

Так как \( d = d \), то их правые части должны быть равны. Подставим значения из первого уравнения во второе:

\[ \sqrt{16 + (y_c + 3)^2 + 4} = \sqrt{1 + y_c^2} \]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[ 16 + (y_c + 3)^2 + 4 = 1 + y_c^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 16 + y_c^2 + 6y_c + 9 + 4 = 1 + y_c^2 \]

Упростим уравнение:

\[ 6y_c + 29 = 0 \]

Перенесем 29 на другую сторону:

\[ 6y_c = -29 \]

Разделим обе части на 6:

\[ y_c = -\frac{29}{6} \]

Таким образом, координаты точки \( C \) равны \( (0, -\frac{29}{6}, 0) \). Ответ: \( C(0, -\frac{29}{6}, 0) \).