Каковы площадь полной поверхности и объем данной правильной усеченной пирамиды, если ее диагонали равны 10м и 2√85м?

Чтобы найти площадь полной поверхности и объем усеченной пирамиды, нам сначала нужно найти ее высоту и размеры оснований. Давайте разберем каждый шаг подробно.

Предположим, что усеченная пирамида имеет основание верхней части равное кругу радиусом \(r\) и основание нижней части равное кругу с радиусом \(R\). Пусть высота пирамиды равна \(h\).

Итак, у нас есть две диагонали: одна равна 10 метров, а другая равна \(2\sqrt{85}\) метров.

Первым шагом нам нужно найти значения \(r\) и \(R\).

Диагональ верхнего основания пирамиды равна \(2r\), а диагональ нижнего основания пирамиды равна \(2R\).

У нас есть два уравнения:

\[
2r = 10 \quad \text{(уравнение 1)}
\]

\[
2R = 2\sqrt{85} \quad \text{(уравнение 2)}
\]

Давайте найдем \(r\) и \(R\) отдельно:

Из уравнения 1:

\[
2r = 10
\]

\[
r = \frac{10}{2}
\]

\[
r = 5
\]

Теперь найдем \(R\) из уравнения 2:

\[
2R = 2\sqrt{85}
\]

\[
R = \frac{2\sqrt{85}}{2}
\]

\[
R = \sqrt{85}
\]

Теперь, когда у нас есть значения \(r\) и \(R\), мы можем продолжить, чтобы найти высоту пирамиды \(h\).

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения \(h\). В треугольнике, образованном \(r\), \(R\) и \(h\), гипотенуза равна диагонали. Таким образом:

\[
h^2 = \left(R-r\right)^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2
\]

\[
h^2 = \left(\sqrt{85} - 5\right)^2 + 5^2
\]

\[
h^2 = \left(85 - 10\sqrt{85} + 25\right) + 25
\]

\[
h^2 = 110 - 10\sqrt{85}
\]

Теперь у нас есть значение \(h^2\), но нам интересно найти саму высоту \(h\). Для этого мы используем квадратный корень:

\[
h = \sqrt{110 - 10\sqrt{85}}
\]

Теперь, когда у нас есть значения для \(r\), \(R\) и \(h\), мы можем найти площадь полной поверхности и объем усеченной пирамиды.

Общая площадь поверхности состоит из площадей оснований и боковой поверхности. Площадь основания верхней части пирамиды равна \(\pi r^2\), а площадь основания нижней части пирамиды равна \(\pi R^2\).

Также нам нужно найти площадь боковой поверхности. Для этого мы можем использовать формулу для площади боковой поверхности правильной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полусумме периметров верхнего и нижнего оснований, умноженной на общую длину периметра.

Давайте сначала найдем площади оснований:

Площадь верхнего основания:

\[
S_1 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi
\]

Площадь нижнего основания:

\[
S_2 = \pi \cdot \left(\sqrt{85}\right)^2 = 85\pi
\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности.

Периметр верхнего основания равен:

\[
P_1 = 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot 5 = 10\pi
\]

Периметр нижнего основания равен:

\[
P_2 = 2\pi \cdot R = 2\pi \cdot \sqrt{85}
\]

Общая длина периметра:

\[
L = P_1 + P_2 = 10\pi + 2\pi \cdot \sqrt{85}
\]

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left(10\pi + 2\pi \cdot \sqrt{85}\right) \cdot \sqrt{110 - 10\sqrt{85}}
\]

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности, сложив площади оснований и боковую поверхность:

\[
S_{\text{полн}} = S_1 + S_2 + S_{\text{бок}} = 25\pi + 85\pi + \frac{1}{2} \cdot \left(10\pi + 2\pi \cdot \sqrt{85}\right) \cdot \sqrt{110 - 10\sqrt{85}}
\]

И, наконец, чтобы найти объем усеченной пирамиды, мы используем формулу:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}\right)
\]

Подставив найденные ранее значения, мы можем найти объем:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{110 - 10\sqrt{85}} \cdot \left(25\pi + 85\pi + \sqrt{25\pi \cdot 85\pi}\right)
\]

Таким образом, мы рассчитали площадь полной поверхности и объем данной правильной усеченной пирамиды.