Какое уравнение сферы можно найти, если центр сферы является началом координат и плоскость 16x-15y-12z + 75

Чтобы найти уравнение сферы, если центр находится в начале координат, а плоскость 16x-15y-12z + 75 = 0 является касательной к сфере, мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Первым делом нужно найти радиус сферы. Если плоскость является касательной к сфере, то расстояние от центра сферы до этой плоскости будет равно радиусу.

2. Для того чтобы найти это расстояние, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости. Формула записывается следующим образом:

\[d = \frac{{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

Где (x_0, y_0, z_0) - это координаты произвольной точки на плоскости, A, B, C - коэффициенты при x, y, z в уравнении плоскости, а D - свободный член уравнения плоскости.

3. В нашем случае коэффициенты A, B, C и D равны 16, -15, -12 и 75 соответственно. Так как плоскость проходит через начало координат, координаты произвольной точки (x_0, y_0, z_0) на плоскости будут равны нулю.

Подставив все значения в формулу, мы получим:

\[d = \frac{{|16 \cdot 0 + (-15) \cdot 0 + (-12) \cdot 0 + 75|}}{{\sqrt{{16^2 + (-15)^2 + (-12)^2}}}} = \frac{75}{{\sqrt{{256 + 225 + 144}}}} = \frac{75}{\sqrt{625}} = \frac{75}{25} = 3\]

Таким образом, радиус сферы равен 3.

4. Итак, теперь мы знаем радиус сферы, а также центр сферы, который находится в начале координат (0, 0, 0). Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом 3 записывается следующим образом:

\[x^2 + y^2 + z^2 = 3^2\]

Или, после упрощения,

\[x^2 + y^2 + z^2 = 9\]

Таким образом, ответ на задачу: уравнение сферы, у которой центр находится в начале координат и плоскость 16x-15y-12z + 75 = 0 является касательной, записывается следующим образом: \[x^2 + y^2 + z^2 = 9\].

Это уравнение представляет собой уравнение сферы с радиусом 3 и центром в начале координат.