Какое уравнение прямой содержит среднюю линию треугольника, параллельную одной из его сторон? Найдите координаты вершин

Для начала нам нужно найти координаты середины стороны треугольника, параллельной той, прямую которой мы ищем.

Допустим, сторона треугольника, параллельная нужной нам прямой, это сторона AB, а стороны AC и BC соответственно являются основаниями.

Чтобы найти координаты середины стороны AB, мы возьмем среднее арифметическое от x-координат вершин A и B, а также от y-координат вершин A и B.

Координаты середины стороны AB будут:

\[ x_{AB} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
\[ y_{AB} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-8 + 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Итак, мы находим координаты середины стороны AB: (1; -1)

Теперь, когда у нас есть координаты середины стороны AB, мы можем записать уравнение прямой, которая содержит эту среднюю линию.

Мы знаем, что прямая имеет уравнение вида y = kx + b, где k - это коэффициент наклона, а b - это точка пересечения с осью y (то есть b - это y-пересечение).

Чтобы найти уравнение, нам нужно определить коэффициент наклона и точку пересечения с осью y.

Коэффициент наклона можно найти, используя координаты двух точек: середины AB и одной из вершин треугольника. Для этого нам потребуется использовать формулу:

\[ k = \frac{y_{AB} - y_{вершина}}{x_{AB} - x_{вершина}} \]

Давайте возьмем вершину A (4; -8) в качестве точки и используем формулу для нахождения коэффициента наклона:

\[ k = \frac{-1 - (-8)}{1 - 4} = \frac{7}{-3} = -\frac{7}{3} \]

Теперь остается только найти точку пересечения с осью y, то есть точку, где прямая пересекает ось y. Мы знаем, что эта точка имеет координаты (0; b).

Для нахождения b мы можем использовать формулу для прямой, подставив в неё координаты середины стороны AB и коэффициент наклона:

\[ b = y_{AB} - k \cdot x_{AB} \]

Подставим известные значения:

\[ b = (-1) - \left(-\frac{7}{3}\right) \cdot 1 = -1 + \frac{7}{3} = -\frac{3}{3} + \frac{7}{3} = \frac{4}{3} \]

Итак, мы нашли, что точка пересечения с осью y это (0; \(\frac{4}{3}\)).

Теперь мы можем записать итоговое уравнение прямой:

\[ y = -\frac{7}{3}x + \frac{4}{3} \]

Таким образом, уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника, параллельную стороне AB, будет \(\boldsymbol{y = -\frac{7}{3}x + \frac{4}{3}}\).