Какое уравнение представляет директрису параболы, заданной уравнением 3y^2-2y-10x+10=0?

Для определения уравнения директрисы параболы, заданной уравнением \(3y^2-2y-10x+10=0\), мы должны знать его каноническую форму. Позвольте мне разложить это уравнение и привести его к стандартному виду параболы.

1. Для начала, давайте перенесем все члены уравнения на одну сторону, чтобы получить \(0\) справа:
\[3y^2 - 2y - 10x + 10 = 0\]

2. Теперь, чтобы преобразовать это уравнение в стандартную форму, давайте сгруппируем члены с \(y\) в квадратный трехчлен и оставшиеся члены с \(x\) отдельно:
\[3y^2 - 2y = 10x - 10\]

3. Продолжим преобразования, выделив коэффициент при \(y^2\) с помощью деления всех членов на этот коэффициент. В данном случае коэффициент при \(y^2\) равен \(3\):
\[y^2 - \frac{2}{3}y = \frac{10}{3}x - \frac{10}{3}\]

4. Теперь давайте добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при \(y\), чтобы завершить квадратный трехчлен слева от знака равенства:
\[y^2 - \frac{2}{3}y + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{10}{3}x - \frac{10}{3}\]

5. Теперь значения в круглых скобках - это просто квадрат половины коэффициента при \(y\), и их можно объединить:
\[ \left(y - \frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{10}{3}x - \frac{10}{3}\]

6. Раскроем скобки слева и упростим выражение:
\[y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{10}{3}x - \frac{10}{3}\]

7. Соединим числитель дроби слева с отрицательной единицей и упростим его:
\[\left(y - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9} = \frac{10}{3}x - \frac{10}{3}\]

8. Затем, выделим коэффициент при \(x\) с помощью деления всех членов на это значение. В нашем случае это \(\frac{10}{3}\):
\[\frac{1}{\left(\frac{10}{3}\right)}\left(y - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9}\left(\frac{3}{10}\right) = x - 1\]

9. Упростим выражение справа и перенесем его налево:
\[\frac{3}{10}\left(y - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9}\left(\frac{3}{10}\right) + 1 = x\]

10. Теперь, чтобы получить уравнение директрисы, нам нужно заменить \(x\) на \(-x\) и перевести выражение в вид, где \(x\) стоит слева от знака равенства:
\[-x = \frac{3}{10}\left(y - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9}\left(\frac{3}{10}\right) + 1\]

11. Наконец, умножим обе части уравнения на \(-1\), чтобы перевести коэффициент при \(x\) в положительное значение и получить окончательное уравнение директрисы:
\[x = -\frac{3}{10}\left(y - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{9}\left(\frac{3}{10}\right) - 1\]

Таким образом, уравнение директрисы параболы, заданной уравнением \(3y^2-2y-10x+10=0\), имеет вид \(x = -\frac{3}{10}\left(y - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{9}\left(\frac{3}{10}\right) - 1\).