Какое уравнение описывает эллипс, проходящий через точку P(3; 12/5) и касающийся прямой 4x + 5y = 25? Какая точка

Чтобы найти уравнение эллипса, проходящего через точку P(3; 12/5) и касающегося прямой 4x + 5y = 25, нам потребуется некоторый алгебраический анализ. Давайте проведем следующие шаги:

Шаг 1: Найдем уравнение касательной прямой
Первым шагом нам нужно найти уравнение касательной прямой, чтобы узнать точку касания эллипса и прямой 4x + 5y = 25. У нас уже есть уравнение прямой 4x + 5y = 25. Для начала приведем его к общему виду уравнения прямой Ax + By = C, где A, B и C - это константы, а x и y - переменные:

4x + 5y = 25

Реорганизуем уравнение, выразив y:

5y = 25 - 4x
y = (25 - 4x) / 5

Теперь у нас есть выражение для y в зависимости от x. Чтобы найти точку касания, мы должны найти значения x и y, удовлетворяющие обоим геометрическим фигурам.

Шаг 2: Найдем уравнение эллипса
Теперь найдем уравнение эллипса, используя данную точку P(3; 12/5) и найденное уравнение касательной. Уравнение эллипса имеет общий вид:

\(\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1\),

где (h, k) - это координаты центра эллипса, а a и b - это полуоси эллипса. Мы знаем, что эллипс проходит через точку P(3; 12/5), поэтому мы можем подставить ее координаты в уравнение:

\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{12}{5}-k\right)^2}{b^2} = 1\).

Шаг 3: Найдем точку касания эллипса и прямой
Теперь мы можем решить систему из двух уравнений: уравнение эллипса и уравнение прямой. Заменим y в уравнении эллипса на найденное уравнение касательной:

\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{12}{5}-k\right)^2}{b^2} = 1,\)
\(y = \dfrac{25 - 4x}{5}\).

Подставим второе уравнение в первое и выразим оставшуюся переменную:

\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{12}{5}-k\right)^2}{b^2} = 1,\)
\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{12}{5}-k\right)^2}{b^2} = 1,\)
\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{12}{5}-\frac{25-4x}{5}\right)^2}{b^2} = 1.\)

Упростим уравнение:

\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{12}{5}-\dfrac{25-4x}{5}\right)^2}{b^2} = 1,\)
\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{12}{5}-\dfrac{25}{5}+\dfrac{4x}{5}\right)^2}{b^2} = 1,\)
\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{12}{5}-\dfrac{20}{5}+\dfrac{4x}{5}\right)^2}{b^2} = 1,\)
\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{12-20+4x}{5}\right)^2}{b^2} = 1,\)
\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{-8+4x}{5}\right)^2}{b^2} = 1,\)
\(\dfrac{(3-h)^2}{a^2} + \dfrac{\left(\dfrac{4(x-2)}{5}\right)^2}{b^2} = 1.\)

Полученное уравнение описывает эллипс, пройдящий через точку P(3; 12/5) и касающийся прямой 4x + 5y = 25. Точка касания эллипса и прямой можно найти, решив систему из уравнения эллипса и уравнения прямой. Ответ на этот вопрос может быть немного сложным, поэтому необходимо использовать дополнительный математический анализ для нахождения точек касания. В данном случае, точки касания эллипса и прямой находятся на пересечении этих двух графиков. К сожалению, я пока не смогу вычислить точки касания для вас.