Какова длина апофемы правильной треугольной пирамиды с площадью основания, равной корню из 3, и углом наклона боковой

Для решения данной задачи, нам понадобится некоторое знание геометрии и теории треугольников.
Сначала рассмотрим боковую грань правильной треугольной пирамиды. В ней имеются два прямых угла в вершине, один из которых равен 45 градусам.
Известными нам данными являются: площадь основания, равная \(\sqrt{3}\) и угол наклона боковой грани к плоскости основания, равный 45 градусам.
Площадь основания прямоугольного треугольника, образованного боковой гранью пирамиды, можно выразить следующей формулой:
\[S_{б}=S_{осн}\cdot\cos{45^\circ}\]
Так как пирамида правильная, то площадь основания равна \(S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где \(a\) - длина стороны основания.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[S_{б}=\frac{(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}\cdot\cos{45^\circ}\]
\[S_{б}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[S_{б}=\frac{3\sqrt{6}}{8}\]
Теперь мы можем найти длину боковой грани пирамиды, используя формулу \(S_{б}=\frac{1}{2}pl\), где \(p\) - периметр основания, а \(l\) - длина боковой грани:
\[\frac{3\sqrt{6}}{8}=\frac{1}{2}(3a)\cdot l\]
Сокращаем и приводим к общему знаменателю:
\[\frac{\sqrt{6}}{8}=\frac{3}{2}\cdot l\]
\[l=\frac{\sqrt{6}}{12}\]

Таким образом, длина апофемы (расстояние от вершины пирамиды до центра основания) правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{\sqrt{6}}{12}\).