Какое уравнение можно составить для эллипса, если известно, что две его вершины расположены в точках (-5;0) и (5;0

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства эллипса. Эллипс - это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фокусов до данной точки постоянна.

В данной задаче мы знаем, что две вершины эллипса находятся в точках (-5;0) и (5;0), а фокусы находятся в точках (-3;0) и (3;0). Возникает вопрос, какая формула может описывать данный эллипс.

Для составления уравнения можно воспользоваться стандартной формой уравнения эллипса:

\[\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1\]

где (h, k) - координаты центра эллипса, а a и b - полуоси эллипса, соответственно.

В нашем случае, так как эллипс симметричен относительно оси OY, центр эллипса будет находиться на оси OX, а его координаты будут совпадать с координатами середины между двумя вершинами: \((\frac{{-5+5}}{2}, 0) = (0, 0)\).

Теперь необходимо найти значения полуосей a и b. Для этого можно воспользоваться свойством, согласно которому сумма расстояний от фокуса до точки на эллипсе равна длине большой полуоси эллипса.

Рассмотрим точку одной из заданных фокусов, например (-3;0), и произвольную точку на эллипсе (x; y). Сумма расстояний от фокуса до точки на эллипсе равна расстоянию от второго фокуса до этой же точки:

\[\sqrt{{(x-(-3))^2 + (y-0)^2}} + \sqrt{{(x-3)^2 + (y-0)^2}} = 2a\]

Так как фокусы находятся на оси OX, то a будет равно расстоянию между фокусами, то есть 3 - (-3) = 6:

\[\sqrt{{(x+3)^2 + y^2}} + \sqrt{{(x-3)^2 + y^2}} = 6\]

Следовательно, у нас получилось следующее уравнение для эллипса:

\[\frac{{x^2}}{{3^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1\]

Теперь необходимо найти значение b - малой полуоси эллипса. Для этого мы знаем, что расстояние от центра эллипса до вершины равно a, в нашем случае это 3. То есть:

\[a^2 = 3^2 = 9\]

Так как вершины находятся на оси OX, то b будет равно расстоянию между вершиной и центром, то есть 0 - 0 = 0:

\[b^2 = 0\]

Таким образом, мы получаем уравнение эллипса:

\[\frac{{x^2}}{{9}} + \frac{{y^2}}{{0}} = 1\]

Однако, такое уравнение не имеет смысла, так как b равно нулю. Это означает, что малая полуось эллипса имеет длину ноль, и эллипс превращается в точку.

Таким образом, в данной задаче невозможно составить уравнение эллипса, так как фокусы и вершины находятся на одной прямой. Это может быть описано как особый случай эллипса, называемый "дегенерированным эллипсом", который фактически является отрезком прямой.