Какое расстояние необходимо для размещения двух других шариков массами 4m и m/2, чтобы модуль сил их гравитационного

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать закон всемирного тяготения, который формулирует взаимодействие масс тел друг с другом.

Закон всемирного тяготения гласит: сила гравитационного притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы знаем, что модуль силы гравитационного притяжения между этими двумя шариками должен быть в 2 раза больше. Обозначим модуль этой силы \( F \).

Тогда мы можем записать следующее уравнение:
\[ F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

где:
\( F \) - модуль силы гравитационного притяжения
\( G \) - гравитационная постоянная (приближенное значение \( 6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \))
\( m_1 \) и \( m_2 \) - массы двух шариков
\( r \) - расстояние между шариками

Мы также знаем, что модуль силы между шариками массами \( 4m \) и \( \frac{m}{2} \) должен быть в 2 раза больше, чем между ними. Обозначим расстояние между шариками массами \( 4m \) и \( \frac{m}{2} \) как \( r_1 \). Тогда модуль силы между этими шариками можно записать как \( 2F \).

Мы можем сформулировать следующее уравнение:
\[ 2F = G \cdot \frac{{(4m) \cdot \left(\frac{m}{2}\right)}}{{r_1^2}} \]

Для удобства расчетов нам может помочь найти соотношение между \( r_1 \) и \( r \). Сравнивая эти два уравнения, мы можем сделать вывод:
\[ \frac{2F}{F} = \frac{G \cdot \frac{{(4m) \cdot \left(\frac{m}{2}\right)}}{{r_1^2}}}{G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}} \]

Сокращая гравитационную постоянную \( G \) и выполняя простые алгебраические операции, мы получаем следующее:
\[ \frac{8m^2}{r_1^2} = \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \]

Теперь мы можем найти соотношение между \( r_1 \) и \( r \):
\[ \frac{r_1^2}{r^2} = \frac{m_1 \cdot m_2}{8m^2} \]

Теперь, чтобы найти расстояние \( r_1 \), необходимое для размещения двух шариков массами \( 4m \) и \( \frac{m}{2} \), чтобы модуль силы их гравитационного притяжения был в 2 раза больше, мы можем решить это уравнение относительно \( r_1 \).

\[ r_1 = r \cdot \sqrt{\frac{m_1 \cdot m_2}{8m^2}} \]

Теперь, следуя шагам по решению задачи, у нас есть явное математическое выражение для расчета \( r_1 \), необходимого расстояния. Мы можем вставить значения \( m_1 \) и \( m_2 \), чтобы получить окончательный ответ.