Какое наименьшее значение принимает функция y=x√x-18x+15 при изменении значения x на отрезке?

Чтобы найти наименьшее значение функции \(y = x\sqrt{x} - 18x + 15\) на заданном отрезке, нам понадобится проанализировать ее поведение.

Шаг 1: Найдем критические точки функции. Для этого сначала найдем производную функции \(y\) по \(x\):

\[
y" = \frac{d}{dx}(x\sqrt{x} - 18x + 15)
\]

Применим правило дифференцирования для каждого из слагаемых, учитывая, что \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\):

\[
y" = \frac{d}{dx}(x)\sqrt{x} + x\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) - 18\frac{d}{dx}(x) = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} - 18
\]

Упростим это выражение:

\[
y" = \frac{3x}{2\sqrt{x}} - 18
\]

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю, и точки разрыва. Для этого приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение:

\[
\frac{3x}{2\sqrt{x}} - 18 = 0
\]

Сначала упростим уравнение:

\[
\frac{3x}{2\sqrt{x}} = 18
\]

Умножим обе части на \(\frac{2\sqrt{x}}{3}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
x = 12\sqrt{x}
\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
x^2 = 12^2 \cdot x
\]

\[
x^2 - 144x = 0
\]

Разложим это уравнение на множители:

\[
x(x - 144) = 0
\]

Таким образом, у нас две критические точки: \(x = 0\) и \(x = 144\).

Шаг 3: Определим поведение функции на отрезке \([0, 144]\) и на границах этого отрезка.

Подставим \(x = 0\) в исходную функцию \(y = x\sqrt{x} - 18x + 15\):

\[
y(0) = 0\sqrt{0} - 18 \cdot 0 + 15 = 15
\]

Теперь подставим \(x = 144\):

\[
y(144) = 144\sqrt{144} - 18 \cdot 144 + 15
\]

\[
y(144) = 144 \cdot 12 - 2592 + 15 = 1728 - 2592 + 15 = -849
\]

Таким образом, на границах отрезка \([0, 144]\) функция принимает значения: \(y = 15\) и \(y = -849\).

Чтобы определить, какое из значений -- наименьшее, проверим значения функции в критических точках \(x = 0\) и \(x = 144\).

Подставим \(x = 0\) в функцию \(y = x\sqrt{x} - 18x + 15\):

\[
y(0) = 0\sqrt{0} - 18 \cdot 0 + 15 = 15
\]

Подставим \(x = 144\):

\[
y(144) = 144\sqrt{144} - 18 \cdot 144 + 15
\]

\[
y(144) = 144 \cdot 12 - 2592 + 15 = 1728 - 2592 + 15 = -849
\]

Таким образом, наименьшее значение функции достигается в точке \(x = 144\) и равно \(y = -849\).