Какое наименьшее значение достигает функция y=2х - 2 sinx +7 на интервале [0; pi/2]?

Чтобы найти наименьшее значение функции \(y = 2x - 2 \sin(x) + 7\) на интервале \([0; \frac{\pi}{2}]\), нам нужно использовать производную функции.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[
\frac{dy}{dx} = 2 - 2 \cos(x)
\]

Шаг 2: Найдем критические точки функции, то есть значения \(x\), при которых производная равна нулю или не существует.

Для этого приравняем выражение для производной к нулю и решим полученное уравнение:

\[
2 - 2 \cos(x) = 0
\]

\[
\cos(x) = 1
\]

Известно, что значения \(\cos(x)\) равные \(1\) на интервале \([0; \frac{\pi}{2}]\) соответствуют только \(x = 0\).

Шаг 3: Определим значение функции \(y\) в найденной критической точке и на границах интервала \([0; \frac{\pi}{2}]\). То есть, вычислим \(y\) при \(x = 0\), \(x = \frac{\pi}{2}\) и \(x = \frac{\pi}{2}\).

\[
y(0) = 2 \cdot 0 - 2 \sin(0) + 7 = 7
\]

\[
y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} - 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 7 = \pi + 6
\]

Шаг 4: Для определения наименьшего значения функции \(y\) на интервале \([0; \frac{\pi}{2}]\), сравним найденные значения \(y\) в критической точке и на границах интервала:

\[
y(0) = 7
\]

\[
y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi + 6
\]

Из полученных значений видно, что \(y(0) = 7\) - это наименьшее значение функции \(y\) на интервале \([0; \frac{\pi}{2}]\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y = 2x - 2 \sin(x) + 7\) на интервале \([0; \frac{\pi}{2}]\) равно \(7\).