Определите точки экстремума функции y=6x−12cosx при x∈[−π2;π] и определите их характер. Ваш ответ (введите в градусах

Хорошо, вот подробное решение задачи:

Для определения точек экстремума функции сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

\[f"(x) = 6 - 12\cdot(-\sin{x}) = 6 + 12\sin{x} = 0\]

Чтобы найти значения \(x\), при которых производная равна нулю, решим уравнение:

\[6 + 12\sin{x} = 0\]

Вычтем 6 из обеих частей:

\[12\sin{x} = -6\]

Разделим обе части на 12:

\[\sin{x} = -\frac{1}{2}\]

Это уравнение имеет два решения в интервале \([-π/2, π]\). Они соответствуют точкам, в которых функция достигает экстремума. Чтобы найти значения этих точек, возьмем обратный синус от \(-1/2\):

\[x_1 = \arcsin{\left(-\frac{1}{2}\right)}\]
\[x_2 = \pi - \arcsin{\left(-\frac{1}{2}\right)}\]

Используя калькулятор, получаем:

\[x_1 \approx -\frac{\pi}{6} \approx -30^\circ\]
\[x_2 \approx \frac{7\pi}{6} \approx 210^\circ\]

Таким образом, точки экстремума функции на заданном интервале равны \(x_1 \approx -\frac{\pi}{6}\) и \(x_2 \approx \frac{7\pi}{6}\).

Осталось определить их характер. Для этого возьмем вторую производную функции и вычислим ее значение в найденных точках. Если вторая производная положительна, то это будет минимум, если отрицательна - максимум, и если равна нулю, то будет необходимо использовать другие методы.

Найдем вторую производную функции:

\[f""(x) = \frac{d}{dx} \left(6 + 12\sin{x}\right) = 12\cos{x}\]

Вычислим значение второй производной в каждой точке:

\[f""\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 12\cos{\left(-\frac{\pi}{6}\right)} = 6\sqrt{3} > 0\]
\[f""\left(\frac{7\pi}{6}\right) = 12\cos{\left(\frac{7\pi}{6}\right)} = 6\sqrt{3} > 0\]

Обе вторые производные положительны, поэтому точки \(x_1 \approx -\frac{\pi}{6}\) и \(x_2 \approx \frac{7\pi}{6}\) являются точками минимума функции.

Итак, ответ на задачу: \(x_1 \approx -\frac{\pi}{6}\) и \(x_2 \approx \frac{7\pi}{6}\) (в градусах) являются точками минимума функции \(y = 6x - 12\cos{x}\) на интервале \([-π/2, π]\).