Какое наименьшее натуральное значение K больше 2020, при котором сумма 1/(1+ 2^1/3 + 4^1/3) + 1/(4^1/3+ 6^1/3 + 9^1/3

Давайте посмотрим на сумму в более подробном виде и попробуем найти общий вид слагаемых:

\[ \frac{1}{1+ 2^{1/3} + 4^{1/3}} + \frac{1}{4^{1/3}+ 6^{1/3} + 9^{1/3}} + \ldots + \frac{1}{((k^2-2k+1)^{1/3}+ (k^2 - k)^{1/3} + k^{2/3})}\]

Заметим, что каждое слагаемое внутри дроби является суммой трех кубических корней. Мы можем использовать свойство суммы кубических корней и привести это выражение к более компактному виду.

Рассмотрим общий вид одного слагаемого \(\frac{1}{(n^2-2n+1)^{1/3}+ (n^2 - n)^{1/3} + n^{2/3}}\), где \(n\) принимает значения от 1 до \(k\).

Применим свойство суммы кубических корней:

\[(n^2-2n+1)^{1/3}+ (n^2 - n)^{1/3} + n^{2/3} = (n^2-2n+1 + n^2 - n + n^2)^{1/3}\]

\[= (3n^2 - 3n + 1)^{1/3}\]

Теперь мы можем записать каждое слагаемое в общем виде:

\[\frac{1}{(3n^2 - 3n + 1)^{1/3}}\]

Теперь давайте взглянем на сумму:

\[S = \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{(3n^2 - 3n + 1)^{1/3}}\]

Мы хотим, чтобы сумма \(S\) была рациональным числом. Рациональное число может быть представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами.

Давайте рассмотрим знаменатель в каждом слагаемом \((3n^2 - 3n + 1)^{1/3}\). Заметим, что знаменатель и числитель в нашей дроби не зависят от \(k\) и равны 1.

Таким образом, чтобы сумма \(S\) была рациональным числом, нужно, чтобы числитель в каждом слагаемом также был равен 1.

Теперь рассмотрим числитель:

\[3n^2 - 3n + 1 = 1\]

Упростим это уравнение:

\[3n^2 - 3n = 0\]

\[3n(n-1) = 0\]

Из этого уравнения видно, что корни можно получить из \(n = 0\) и \(n = 1\).

В условии задачи сказано, что \(n\) должно быть натуральным числом, поэтому нас интересует только \(n = 1\).

Таким образом, наименьшее натуральное значение \(k\), при котором сумма будет являться рациональным числом, равно 1+1=2.

Ответ: \(k = 2\)