Какое наименьшее количество чисел могло быть написано на доске, если среди них есть различные числа?

Хорошо, давайте разберем данную задачу пошагово, чтобы ответить на ваш вопрос.

Предположим, что на доске записано \(n\) чисел, где все числа различны. Нам нужно найти наименьшее возможное значение для \(n\).

Предположим, что первое число, записанное на доске, имеет значение \(1\). Тогда следующее число должно быть больше \(1\), но должно быть менее, чем на \(1\) больше первого числа, потому что числа должны быть различными.

Таким образом, возможные варианты для второго числа – это \(2, 3, 4, ...\), то есть все натуральные числа, большие \(1\).

Рассмотрим случай, когда второе число равно \(2\). В таком случае третье число должно быть больше \(2\), но должно быть менее, чем на \(1\) больше второго числа.

Аналогично, рассмотрим случай, когда второе число равно \(3\). В таком случае третье число должно быть больше \(3\), но должно быть на единицу меньше четвертого числа.

Можем заметить, что наименьшее количество чисел, которое могло быть написано на доске, это такое количество, которое является наименьшим числом, не меньшим на единицу от суммы первого числа и всех чисел, записанных после него.

Давайте возьмем, к примеру, первое число равное \(1\). Тогда сумма всех чисел будет равна \(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n\). Найдем значение суммы:

\[
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = \frac{{n(n+1)}}{2}
\]

Теперь нам нужно найти такое наименьшее значение для \(n\), чтобы это значение было не меньше, чем полученное выражение:

\[
n(n+1) \leq 2n
\]

Решим это неравенство:

\[
n^2 + n \leq 2n
\]

\[
n^2 \leq n
\]

\[
n \leq 1
\]

Отсюда мы видим, что наименьшее значение для \(n\) – это \(1\).

Таким образом, наименьшее количество чисел, которое могло быть написано на доске, равно \(1\).

Надеюсь, данный подробный ответ поможет вам лучше понять решение задачи. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, задавайте!