Какое наибольшее значение принимает функция y=x/25+x^2 на луче [0;+∞)? (ответ представь в виде сокращенной дроби

Чтобы найти наибольшее значение функции \(y = \frac{x}{25} + x^2\) на луче \([0;+\infty)\), мы должны найти точку, в которой производная функции равна нулю, а затем проверить, является ли эта точка максимумом или минимумом.

Сперва найдем производную функции. Производная функции \(y\) по \(x\) будет равна:

\[y" = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{25} + x^2\right)\]

Для нахождения производной по \(x\) от каждого члена функции, мы должны применить правила дифференцирования. Заметим, что производная от суммы равна сумме производных. Таким образом, производная функции равна:

\[y" = \frac{1}{25} + 2x\]

Далее, чтобы найти стационарные точки - точки, в которых производная равна нулю - приравняем \(y"\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[\frac{1}{25} + 2x = 0\]

Вычитаем \(\frac{1}{25}\) из обеих сторон уравнения:

\[2x = -\frac{1}{25}\]

Делим обе стороны на 2:

\[x = -\frac{1}{50}\]

Таким образом, мы нашли стационарную точку \(x = -\frac{1}{50}\).

Теперь проверим, является ли эта точка максимумом или минимумом. Для этого проанализируем знак второй производной функции.

Возьмем вторую производную функции \(y"\). Для этого снова возьмем производную от \(y"\):

\[y"" = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{25} + 2x\right)\]

Производная от константы равна нулю, и производная от \(2x\) равна 2. Таким образом, вторая производная равна:

\[y"" = 2\]

Так как вторая производная положительная, то это означает, что стационарная точка \(x = -\frac{1}{50}\) является точкой минимума.

Теперь мы можем подставить эту стационарную точку \(x = -\frac{1}{50}\) в исходную функцию \(y = \frac{x}{25} + x^2\) и найти наибольшее значение функции:

\[y = \frac{-\frac{1}{50}}{25} + \left(-\frac{1}{50}\right)^2\]

Упростим это выражение:

\[y = -\frac{1}{1250} + \frac{1}{2500}\]

Найдем общий знаменатель для суммы дробей:

\[y = \frac{-2}{5000} + \frac{1}{5000}\]

Сложим дроби:

\[y = \frac{-1}{5000}\]

Таким образом, наибольшее значение функции \(y = \frac{x}{25} + x^2\) на луче \([0;+\infty)\) равно \(-\frac{1}{5000}\).

Относительно стационарных точек функции \(y = \frac{x}{25} + x^2\), ответом может быть только \(x = -\frac{1}{50}\). Выбранные варианты ответов \(±25\) и \(±5\) не являются стационарными точками данной функции.