Какое множество решений имеет неравенство x^2 + 8x - 9 ≥ 0? Чья способность позволяет это определить?

Для начала давайте определимся, что значит, что множество решений неравенства \(x^2 + 8x - 9 \geq 0\).

Множество решений неравенства — это просто множество всех значений переменной \(x\) (в данном случае), которые удовлетворяют данному неравенству.

Данное неравенство является квадратным трехчленом. Чтобы понять, какое множество решений оно имеет, мы можем воспользоваться графиком функции данного квадратного трехчлена.

Обратите внимание на то, что форма данного квадратного трехчлена \(x^2 + 8x - 9\) является параболой, которая открывается вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный). Для нас важно определить, в каких точках парабола \(x^2 + 8x - 9\) пересекает или касается оси \(x\).

Для определения множества решений данного неравенства, нужно найти корни квадратного уравнения \(x^2 + 8x - 9 = 0\). Корни этого уравнения будут точками пересечения параболы с осью \(x\). Давайте найдем эти корни.

Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта \(D\) для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), которая выглядит следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac.\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 8\) и \(c = -9\), поэтому:

\[D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9).\]

Вычисляя, получаем:

\[D = 64 + 36 = 100.\]

Теперь рассмотрим возможные значения дискриминанта:

- Если \(D > 0\), т.е. \(100 > 0\), то квадратное уравнение имеет два различных корня.
- Если \(D = 0\), т.е. \(100 = 0\), то квадратное уравнение имеет один корень.
- Если \(D < 0\), т.е. \(100 < 0\), то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае, \(D = 100 > 0\), что означает, что уравнение \(x^2 + 8x - 9 = 0\) имеет два различных корня.

Теперь перейдем к графику параболы \(x^2 + 8x - 9\). Найденные нами корни - это точки, где парабола пересекает ось \(x\).

\[
x_1 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-8 - \sqrt{100}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{-8 - 10}}{{2}} = -9.
\]
\[
x_2 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-8 + \sqrt{100}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{-8 + 10}}{{2}} = 1.
\]

Таким образом, у нас есть два корня \(x_1 = -9\) и \(x_2 = 1\), где парабола \(x^2 + 8x - 9\) пересекает ось \(x\).

Чтобы определить множество решений неравенства \(x^2 + 8x - 9 \geq 0\), мы можем проанализировать, в каких интервалах значения \(x\) удовлетворяют данному неравенству.

Мы знаем, что неравенство \(x^2 + 8x - 9 \geq 0\) выполняется в следующих случаях:

1. Если \(x \leq -9\), т.е. \(x\) меньше или равно -9.
2. Если \(x \geq 1\), т.е. \(x\) больше или равно 1.

То есть, множество решений неравенства \(x^2 + 8x - 9 \geq 0\) — это интервал \((- \infty, -9] \cup [1, +\infty)\).

Это получается из того факта, что парабола \(x^2 + 8x - 9\) находится выше или равна нулю в этих интервалах значений \(x\).

Таким образом, множество решений данного неравенства формируется всеми значениями \(x\) из интервала \((- \infty, -9] \cup [1, +\infty)\).