Решите уравнение -1 равно под корнем 2x плюс под корнем x минус

Давайте решим задачу пошагово.

Мы имеем уравнение \(-1 = \sqrt{2x} + \sqrt{x} - \sqrt{x}\). Чтобы найти значение \(x\), с которым это уравнение будет выполняться, нужно избавиться от корней и выразить \(x\) в явном виде.

1. Избавляемся от корня \(\sqrt{2x}\):

Для этого перемещаем корень на другую сторону уравнения:
\(-1 - \sqrt{x} = \sqrt{2x} - \sqrt{x}\).

2. Преобразуем правую часть уравнения:

Сначала сложим корни под знаком радикала:
\(\sqrt{2x} - \sqrt{x} = \sqrt{2x} - \sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2x} - \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2x}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).

3. Возвращаемся к исходному уравнению и заменяем правую часть полученным выражением:

\(-1 - \sqrt{x} = \sqrt{2x}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).

4. Избавляемся от корня под знаком радикала на левой части уравнения:

При переносе корня из-под знака радикала на другую сторону уравнения он будет возводиться в квадрат:
\((-1 - \sqrt{x})^2 = \left(\sqrt{2x}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)^2\).

5. Выполняем раскрытие скобок и упрощение выражений:

\((1 + 2\sqrt{x} + x) = 2x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\).

6. Продолжаем упрощение и раскрытие скобок:

\((1 + 2\sqrt{x} + x) = 2x\left(1 - 2\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\right)\).

\((1 + 2\sqrt{x} + x) = 2x\left(\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2}}\right)\).

7. Далее упрощаем выражения в скобках:

\((1 + 2\sqrt{x} + x) = 2x\left(\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2}}\right)\).

\((1 + 2\sqrt{x} + x) = 2x\left(\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2}}\right)\).

\((1 + 2\sqrt{x} + x) = \frac{2x\sqrt{2} - 4x}{\sqrt{2}}\).

8. Убираем знаменатель с помощью умножения на \(\sqrt{2}\):

\((1 + 2\sqrt{x} + x)\sqrt{2} = 2x\sqrt{2} - 4x\).

\(\sqrt{2} + 2\sqrt{2x} + \sqrt{2x^2} = 2x\sqrt{2} - 4x\).

9. Раскрываем скобку и собираем все члены с корнями в одну группу:

Раскрываем квадрат \(x\) на правой части и умножаем каждый член на \(\sqrt{2}\):
\(\sqrt{2} + 2\sqrt{2x} + \sqrt{2}x = 2x\sqrt{2} - 4x\).

10. Выразим все слагаемые с корнями через одно и вынесем \(x\) за скобку:

\(\sqrt{2} + 2\sqrt{2x} + x\sqrt{2} = (2\sqrt{2} - 4)\cdot x \).

11. Делаем замену: \(k = 2\sqrt{2} - 4\) и возвращаемся к исходному уравнению:

\(\sqrt{2} + 2\sqrt{2x} + x\sqrt{2} = k \cdot x \).

12. Теперь мы можем выразить \(x\) через другие слагаемые:

\(x(\sqrt{2} - k) = -\sqrt{2} - 2\sqrt{2x} \).

Теперь мы можем решить полученное уравнение и найти значение \(x\).