Какое минимальное значение может иметь произведение ненулевых a и b, чтобы система уравнений { tg x + 100 * sin x

Для решения данной задачи мы должны найти минимальное значение произведения ненулевых \(a\) и \(b\), при которых данная система уравнений имеет решение.

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности. Первое уравнение:
\[ \text{tg} x + 100 \cdot \text{sin} x = a \]

А можно ли найти такие значения для \(x\), чтобы данное уравнение имело решение? Давайте заглянем в график функций \(\text{tg} x\) и \(100 \cdot \text{sin} x\).


Посмотрев на графики, мы видим, что сумма значений функций может быть любым числом \(a\), находящимся между \(-\infty\) и \(+\infty\). Таким образом, нет ограничений на значение \(a\).

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\[ \text{ctg} x + 100 \cdot \text{cos} x = b \]

Для этого уравнения также займемся графиком функций \(\text{ctg} x\) и \(100 \cdot \text{cos} x\).


Мы видим, что сумма значений функций может быть любым числом \(b\), находящимся между \(-\infty\) и \(+\infty\). Исключение составляет только число 0, так как значение \(\text{ctg} x\) равно бесконечности в точках, где \(\cos x = 0\). В этом случае уравнение становится \(100 \cdot \text{cos} x = b\), и мы можем найти значение \(b = 0\).

Таким образом, чтобы система уравнений имела решение, мы можем выбрать любые значения для \(a\) и \(b\), кроме \(a = 0\) и \(b \neq 0\). В этом случае произведение ненулевых \(a\) и \(b\) будет минимальным и равным \(0\).