За скільки годин може кожна труба самостійно наповнити цей басейн, якщо відкрити їх по черзі?

Для решения этой задачи нужно узнать, за сколько времени каждая труба заполняет бассейн самостоятельно. После этого мы сможем найти общее время, за которое бассейн будет наполнен, если трубы открываются по очереди.

Предположим, что первая труба заполняет бассейн за \(x\) часов, а вторая труба заполняет его за \(y\) часов.

Чтобы определить, за сколько времени первая труба наполнит бассейн самостоятельно, нужно знать, какую часть бассейна она заполняет за один час. Можно сказать, что первая труба заполняет \(\frac{1}{x}\) часть бассейна за один час.

Аналогично, вторая труба заполняет \(\frac{1}{y}\) часть бассейна за один час.

Если первая труба открывается на протяжении \(t\) часов, то за это время она заполнила \(\frac{t}{x}\) частей бассейна.

Остается только найти, за сколько часов вторая труба сможет заполнить оставшуюся не заполненную часть бассейна, то есть \((1-\frac{t}{x})\) частей. Мы знаем, что вторая труба заполняет \(\frac{1}{y}\) часть бассейна за один час, поэтому время, которое она потратит на заполнение оставшейся части, составит \(\frac{(1-\frac{t}{x})}{\frac{1}{y}}\) часов.

Теперь мы можем записать уравнение, объединяющее время, за которое первая труба заполняет бассейн и время, за которое вторая труба заполняет оставшуюся часть:

\(\frac{t}{x} + \frac{(1-\frac{t}{x})}{\frac{1}{y}} = t\)

Решим это уравнение.

Упрощая его, получим:

\(\frac{t}{x} + y(1-\frac{t}{x}) = t\)

Раскроем скобки:

\(\frac{t}{x} + y - \frac{yt}{x} = t\)

Приведем подобные члены вместе:

\(\frac{yt - xt + xy}{x} = t\)

Перенесем \(t\) на левую сторону уравнения:

\(\frac{yt - xt + xy - xt}{x} = 0\)

\(\frac{yt - 2xt + xy}{x} = 0\)

Вынесем общий множитель за скобку:

\(\frac{t(y - 2x + yx)}{x} = 0\)

Так как значение выражения \(\frac{t(y - 2x + yx)}{x}\) равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю:

1) \(t = 0\)
2) \(y - 2x + yx = 0\)

Первый вариант означает, что первая труба не заполняет бассейн, а вторая труба заполняет его за все время. Второй вариант является нашим ответом и требует решения.

Заменим \(y\) на \(\frac{1}{y}\) в уравнении:

\(\frac{1}{y} - 2x + \frac{1}{x} = 0\)

Расположим по порядку слагаемые:

\(\frac{1}{x} - 2x + \frac{1}{y} = 0\)

Переместим \(\frac{1}{y}\) в левую часть:

\(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} + y = 2x\)

Найдем общий знаменатель:

\(\frac{y - x}{xy} + y = 2x\)

Умножим все члены уравнения на \(xy\), чтоб избавиться от знаменателя:

\(y(y - x) + xy = 2x^2y\)

Раскроем скобки:

\(y^2 - xy + xy = 2x^2y\)

Подтверждаем сокращение:

\(y^2 = 2x^2y\)

Разделим обе части уравнения на \(y\):

\(y = 2x^2\)

Наш ответ получается, \(y = 2x^2\), что означает, что вторая труба может заполнить бассейн за \(2x^2\) часов, если первая труба заполняет его за \(x\) часов.