4.1. Какова вероятность того, что случайно выбранный год будет иметь воскресение как на 28 февраля, так и на 7 марта?

4.1. Для того чтобы определить вероятность того, что случайно выбранный год будет иметь воскресение как на 28 февраля, так и на 7 марта, нам необходимо рассмотреть два фактора: кратность года 4 (високосный год) и день недели для конкретной даты.

Давайте начнем с выяснения кратности года. Високосный год наступает каждые 4 года, с тем исключением, что делится на 100, если он не делится на 400. То есть, например, 2000 год был високосным, так как он делится на 400, в то время как 1900 год не был, так как он делится на 100, но не на 400.

Теперь мы знаем, что вероятность выбрать високосный год составляет \(\frac{1}{4}\), так как каждый 4-й год является високосным годом.

Для определения вероятности выбрать год, когда 28 февраля и 7 марта выпадают на воскресенье, нам нужно узнать, какие дни недели выпадают на эти конкретные даты для каждого года. Это можно сделать, используя календарь и день недели, для которого выпадает 1 января данного года (например, 2000 год начинался с субботы, а 2001 год - с понедельника).

Объединяя оба фактора (кратность года и дни недели), мы можем определить количество лет, когда оба условия будут выполняться, и разделить это на общее количество лет, чтобы получить вероятность.

1.2. По условию задачи, вероятность того, что первый сигнализатор сработает при аварии, составляет 0,95, а вероятность того, что второй сигнализатор сработает, составляет 0,9. Обе эти вероятности являются независимыми событиями.

а) Вероятность того, что только один из сигнализаторов сработает, можно рассчитать, используя формулу вероятности для независимых событий, которая составляет \(P(A \cap \neg B) + P(\neg A \cap B)\), где \(P(A)\) - вероятность сработки первого сигнализатора, \(P(B)\) - вероятность сработки второго сигнализатора, а \(\neg\) обозначает отрицание.

Таким образом, вероятность того, что только один из сигнализаторов сработает, будет равна:
\(P(A \cap \neg B) + P(\neg A \cap B) = (0,95 \cdot 0,1) + (0,05 \cdot 0,9) = 0,095 + 0,045 = 0,14\)

б) Вероятность того, что хотя бы один из сигнализаторов сработает, можно рассчитать как комплиментарную вероятность отсутствия срабатывания ни одного из сигнализаторов, то есть \(P(\neg A \cap \neg B)\).

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один из сигнализаторов сработает, будет равна:
\(P(\neg A \cap \neg B) = 1 - P(\neg A) \cdot P(\neg B) = 1 - (0,05 \cdot 0,1) = 1 - 0,005 = 0,995\)

Таким образом, вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один из сигнализаторов, будет составлять 0,995.