Какое максимальное значение параметра b следует выбрать, чтобы неравенство 2b+b2−2bsinx> cos2x+2 было неверным

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово.

Нам нужно найти максимальное значение параметра \( b \), при котором неравенство \( 2b + b^2 - 2b \sin(x) > \cos^2(x) + 2 \) является неверным для любого значения \( x \).

1. Начнем с того, что решим неравенство \( 2b + b^2 - 2b \sin(x) - \cos^2(x) - 2 \leq 0 \) для любого значения \( x \). Отметим, что мы поменяли знак неравенства на противоположный, чтобы получить равенство.

2. Заметим, что нам даны две функции, \( f(x) = 2b + b^2 - 2b \sin(x) \) и \( g(x) = \cos^2(x) + 2 \). Мы хотим, чтобы \( f(x) \leq g(x) \) для любого значения \( x \).

3. Чтобы найти критические точки, где эти функции равны друг другу, приравняем их: \( 2b + b^2 - 2b \sin(x) = \cos^2(x) + 2 \).

4. Упростим это уравнение. Заменим \( \cos^2(x) \) на \( 1 - \sin^2(x) \): \( 2b + b^2 - 2b \sin(x) = 1 - \sin^2(x) + 2 \).

5. Перенесем все члены влево и упростим: \( b^2 - 2b \sin(x) + \sin^2(x) = 0 \).

6. Это может быть записано как квадратное уравнение: \( (b - \sin(x))^2 = 0 \).

7. Решим это квадратное уравнение для \( b \): \( b - \sin(x) = 0 \Rightarrow b = \sin(x) \).

Таким образом, критические точки находятся при значениях \( b = \sin(x) \).

8. Чтобы найти максимальное значение параметра \( b \), подставим крайние значения в функции \( f(x) \) и \( g(x) \).

a) Если подставим \( x = \frac{\pi}{2} \), то \( b = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \). Тогда \( f(x) = 2(1) + 1^2 - 2(1)\sin(\frac{\pi}{2}) = 3 - 2 = 1 \) и \( g(x) = \cos^2(\frac{\pi}{2}) + 2 = 0 + 2 = 2 \). Очевидно, что \( f(x) \) не меньше, чем \( g(x) \), поэтому это не является максимальным значением \( b \).

b) Если подставим \( x = -\frac{\pi}{2} \), то \( b = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 \). Тогда \( f(x) = 2(-1) + (-1)^2 - 2(-1)\sin(-\frac{\pi}{2}) = -2 + 1 + 2 = 1 \) и \( g(x) = \cos^2(-\frac{\pi}{2}) + 2 = 0 + 2 = 2 \). Опять же, \( f(x) \) не меньше, чем \( g(x) \), поэтому и это не является максимальным значением \( b \).

c) Подставим \( x = 0 \), то \( b = \sin(0) = 0 \). Тогда \( f(x) = 0 + 0^2 - 2(0)\sin(0) = 0 \) и \( g(x) = \cos^2(0) + 2 = 1 + 2 = 3 \). В этом случае \( f(x) \) меньше, чем \( g(x) \), и это значит, что максимальное значение параметра \( b \) равно 0.

Таким образом, максимальное значение параметра \( b \), при котором неравенство \( 2b + b^2 - 2b \sin(x) > \cos^2(x) + 2 \) является неверным для любого значения \( x \), составляет 0. Квадрат найденного значения равен \( 0^2 = 0 \).