Какое максимальное значение параметра b следует выбрать, чтобы неравенство 2b+b2−2bsinx> cos2x+2 было неверным

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово.

Нам нужно найти максимальное значение параметра $b$, при котором неравенство $2b+b^2-2b\sin (x)>{\cos }^2(x)+2$ является неверным для любого значения $x$.

1. Начнем с того, что решим неравенство $2b+b^2-2b\sin (x)-{\cos }^2(x)-2\le 0$ для любого значения $x$. Отметим, что мы поменяли знак неравенства на противоположный, чтобы получить равенство.

2. Заметим, что нам даны две функции, $f(x)=2b+b^2-2b\sin (x)$ и $g(x)={\cos }^2(x)+2$. Мы хотим, чтобы $f(x)\le g(x)$ для любого значения $x$.

3. Чтобы найти критические точки, где эти функции равны друг другу, приравняем их: $2b+b^2-2b\sin (x)={\cos }^2(x)+2$.

4. Упростим это уравнение. Заменим ${\cos }^2(x)$ на $1-{\sin }^2(x)$: $2b+b^2-2b\sin (x)=1-{\sin }^2(x)+2$.

5. Перенесем все члены влево и упростим: $b^2-2b\sin (x)+{\sin }^2(x)=0$.

6. Это может быть записано как квадратное уравнение: $(b-\sin (x){)}^2=0$.

7. Решим это квадратное уравнение для $b$: $b-\sin (x)=0\Rightarrow b=\sin (x)$.

Таким образом, критические точки находятся при значениях $b=\sin (x)$.

8. Чтобы найти максимальное значение параметра $b$, подставим крайние значения в функции $f(x)$ и $g(x)$.

a) Если подставим $x=\frac{\pi }{2}$, то $b=\sin (\frac{\pi }{2})=1$. Тогда $f(x)=2(1)+1^2-2(1)\sin (\frac{\pi }{2})=3-2=1$ и $g(x)={\cos }^2(\frac{\pi }{2})+2=0+2=2$. Очевидно, что $f(x)$ не меньше, чем $g(x)$, поэтому это не является максимальным значением $b$.

b) Если подставим $x=-\frac{\pi }{2}$, то $b=\sin (-\frac{\pi }{2})=-1$. Тогда $f(x)=2(-1)+(-1{)}^2-2(-1)\sin (-\frac{\pi }{2})=-2+1+2=1$ и $g(x)={\cos }^2(-\frac{\pi }{2})+2=0+2=2$. Опять же, $f(x)$ не меньше, чем $g(x)$, поэтому и это не является максимальным значением $b$.

c) Подставим $x=0$, то $b=\sin (0)=0$. Тогда $f(x)=0+0^2-2(0)\sin (0)=0$ и $g(x)={\cos }^2(0)+2=1+2=3$. В этом случае $f(x)$ меньше, чем $g(x)$, и это значит, что максимальное значение параметра $b$ равно 0.

Таким образом, максимальное значение параметра $b$, при котором неравенство $2b+b^2-2b\sin (x)>{\cos }^2(x)+2$ является неверным для любого значения $x$, составляет 0. Квадрат найденного значения равен $0^2=0$.