Какое максимальное значение может принимать функция 44√3/pi +6/pi (44x-22 tgx) (-pi/6:/pi/6)? Полный ответ, пожалуйста!

Для начала разберемся с данной задачей. Нам нужно найти максимальное значение функции, которая задана таким образом:

\[f(x) = \frac{{44\sqrt{3}}}{\pi} + \frac{6}{\pi} \cdot (44x - 22 \cdot \tan(x)) \cdot \left(-\frac{\pi}{6} : \frac{\pi}{6}\right)\]

Чтобы найти максимальное значение функции, мы должны исследовать ее поведение и найти точку, в которой достигается максимум.

Давайте разобьем решение этой задачи на несколько шагов:

Шаг 1: Найдем производную функции по переменной \(x\). Для этого возьмем производную каждого слагаемого в функции по отдельности, используя правила дифференцирования:

\[
f"(x) = 0 + \frac{6}{\pi} \cdot (44 - 22 \cdot \sec^2(x)) \cdot \left(-\frac{\pi}{6} : \frac{\pi}{6}\right)
\]

Шаг 2: Упростим производную:

\[
f"(x) = \frac{6}{\pi} \cdot (44 - 22 \cdot \sec^2(x)) \cdot (-1)
\]

\[
f"(x) = -\frac{6}{\pi} \cdot (44 - 22 \cdot \sec^2(x))
\]

Шаг 3: Решим уравнение \(f"(x) = 0\) для определения критических точек функции:

\[
-\frac{6}{\pi} \cdot (44 - 22 \cdot \sec^2(x)) = 0
\]

Видим, что уравнение будет равным нулю только в одном случае:

\[
44 - 22 \cdot \sec^2(x) = 0
\]

\[
\sec^2(x) = 2
\]

\[
\cos^2(x) = \frac{1}{2}
\]

\[
\cos(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

\[
x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Шаг 4: Проанализируем поведение функции в интервалах между критическими точками и за пределами этих точек. Составим таблицу поведения функции:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & (-\infty, \frac{\pi}{4}) & (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}) & (\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}) & (\frac{5\pi}{4}, +\infty) \\
\hline
\text{Знак } f"(x) & + & - & + & - \\
\hline
\text{Тенденция } f(x) & \nearrow & \searrow & \nearrow & \searrow \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что функция возрастает на интервалах \((-\infty, \frac{\pi}{4})\) и \((\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})\), а убывает на интервалах \((\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})\) и \((\frac{5\pi}{4}, +\infty)\).

Шаг 5: Найдем значение функции в найденных критических точках и на концах интервалов (если они существуют):

\[
f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{{44\sqrt{3}}}{\pi} + \frac{6}{\pi} \cdot (44 \cdot \frac{\pi}{4} - 22 \cdot \tan(\frac{\pi}{4})) \cdot \left(-\frac{\pi}{6} : \frac{\pi}{6}\right)
\]

\[
f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{{44\sqrt{3}}}{\pi} + \frac{6}{\pi} \cdot (44 \cdot \frac{3\pi}{4} - 22 \cdot \tan(\frac{3\pi}{4})) \cdot \left(-\frac{\pi}{6} : \frac{\pi}{6}\right)
\]

\[
f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{{44\sqrt{3}}}{\pi} + \frac{6}{\pi} \cdot (44 \cdot \frac{5\pi}{4} - 22 \cdot \tan(\frac{5\pi}{4})) \cdot \left(-\frac{\pi}{6} : \frac{\pi}{6}\right)
\]

Шаг 6: Ответим на исходный вопрос - какое максимальное значение может принимать функция. Для этого сравним значения функции на всех интервалах и найденных точках:

1. Рассмотрим интервал \((-\infty, \frac{\pi}{4})\):

На этом интервале функция возрастает, поэтому значения функции на концах интервала будут задавать его верхнюю и нижнюю границы.

\[
f(-\infty) = \text{неопределено}
\]

\[
f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \text{значение, найденное ранее}
\]

2. Рассмотрим интервал \((\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})\):

На этом интервале функция убывает, поэтому максимальное значение функции будет на конце интервала:

\[
f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \text{значение, найденное ранее}
\]

3. Рассмотрим интервал \((\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})\):

На этом интервале функция возрастает, поэтому максимальное значение функции будет на конце интервала:

\[
f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \text{значение, найденное ранее}
\]

4. Рассмотрим интервал \((\frac{5\pi}{4}, +\infty)\):

На этом интервале функция убывает, поэтому значения функции на концах интервала будут задавать его верхнюю и нижнюю границы.

\[
f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \text{значение, найденное ранее}
\]

\[
f(+\infty) = \text{неопределено}
\]

Таким образом, максимальное значение функции будет равно максимальному значению на интервалах:

\[
f_\text{max} = \max \left(f(-\infty), f\left(\frac{\pi}{4}\right), f\left(\frac{5\pi}{4}\right), f(+\infty)\right)
\]

Итак, нам нужно определить значения функции на концах интервала \((-\infty, \frac{\pi}{4})\) и \((\frac{5\pi}{4}, +\infty)\). К сожалению, эти значения нельзя вычислить точно, так как некоторые из исходных функций не имеют точных численных значений при данных аргументах.

Следовательно, завершить решение данной задачи точным численным значением максимума функции нам не удастся. Но мы можем сделать вывод о поведении функции и оценить ее максимальное значение через анализ выздоровления функции на разных интервалах.

Я надеюсь, что эта информация была полезной для вас и помогла вам лучше понять данную задачу. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.