Какое максимальное значение имеют следующие выражения: а) корень из 3 синус альфа + косинус альфа; б) корень

Давайте рассмотрим каждое выражение по очереди и найдем их максимальное значение.

а) Для начала нам нужно выяснить при каком значении угла \(\alpha\) синус и косинус примут свои наибольшие значения. Так как синус и косинус являются периодическими функциями с периодом \(2\pi\), они достигают своих наибольших значений в точках, где угол \(\alpha\) находится в пределах от \(0\) до \(2\pi\) (в радианах).

Для синуса максимальное значение равно \(1\) и достигается при \(\alpha = \frac{\pi}{2}\) или \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\).

Для косинуса максимальное значение также равно \(1\) и достигается при \(\alpha = 0\) или \(\alpha = \pi\).

Теперь, зная эти значения, мы можем подставить их в выражение и получить:

\[ \sqrt{3} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{3} \cdot 1 + 0 = \sqrt{3} \]

Таким образом, максимальным значением первого выражения будет \(\sqrt{3}\).

б) Аналогичным образом мы находим значения, при которых синус и косинус достигают своих максимальных значений.

Синус достигает максимального значения \(\sqrt{2}\) в точках \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) и \(\alpha = \frac{5\pi}{4}\).

Косинус достигает максимального значения \(\sqrt{2}\) в точках \(\alpha = \frac{\pi}{2}\) и \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\).

Подставим эти значения во второе выражение:

\[ \sqrt{6}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{6} \cdot 0 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \]

Таким образом, максимальным значением второго выражения будет \(2\).

Таким образом, ответ на задачу:

а) Максимальное значение первого выражения равно \(\sqrt{3}\).
б) Максимальное значение второго выражения равно \(2\).