Какое квадратное уравнение имеет корни

Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты этого уравнения. Чтобы найти корни квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта.

Формула дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Если дискриминант \(D\) больше нуля, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), уравнение имеет ровно один корень (этот корень называется кратным). Если же дискриминант меньше нуля (\(D < 0\)), уравнение не имеет вещественных корней.

По формуле Виета, сумма корней квадратного уравнения равна \(-\frac{b}{a}\), а их произведение равно \(\frac{c}{a}\).

Теперь рассмотрим каждый случай подробнее:

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных вещественных корня. Чтобы найти эти корни, используем формулу:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Например, если у вас есть уравнение \(x^2 - 5x + 6 = 0\), тогда \(a = 1\), \(b = -5\) и \(c = 6\). Расчет будет выглядеть следующим образом:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\]
\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3\]
\[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2\]

Таким образом, данное уравнение имеет два корня: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 2\).

2. Если \(D = 0\), уравнение имеет ровно один вещественный корень. Формула для нахождения этого корня будет следующей:

\[x = \frac{-b}{2a}\]

Для примера, рассмотрим квадратное уравнение \(4x^2 - 12x + 9 = 0\). Здесь \(a = 4\), \(b = -12\) и \(c = 9\). Мы можем рассчитать корень, используя формулу следующим образом:

\[x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, корень данного уравнения равен \(x = \frac{3}{2}\).

3. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней. Например, рассмотрим уравнение \(2x^2 - 4x + 7 = 0\), где \(a = 2\), \(b = -4\) и \(c = 7\). Вычисление дискриминанта:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 16 - 56 = -40\]

Так как \(D\) меньше нуля, уравнение не имеет вещественных корней.

Итак, чтобы найти квадратное уравнение, имеющее корни, мы должны учесть значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\) и использовать формулы для нахождения корней или определения отсутствия корней. При решении задачи всегда важно запомнить эти формулы и тщательно проводить вычисления, чтобы получить точные ответы.