Какое кубическое уравнение с действительными коэффициентами можно составить, если корнями являются 1 и (4 – 7)? Очень

Чтобы решить данную задачу, мы должны знать несколько фактов о корнях кубического уравнения и о связи между корнями и коэффициентами.

Кубическое уравнение имеет общий вид: \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) - действительные коэффициенты, а \(x\) - неизвестная.

По теореме Виета, сумма корней кубического уравнения равна:
\[x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\]
где \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) - корни уравнения.

Также известно, что произведение корней кубического уравнения равно:
\[x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = \frac{d}{a}\]

В нашей задаче известны два корня: 1 и (4 – 7). Давайте найдем третий корень, используя теорему Виета.

Сумма корней равна:
\[1 + (4 - 7) + x_3 = -\frac{b}{a}\]

Выразим \(x_3\):
\[-2 + x_3 = -\frac{b}{a}\]
\[x_3 = -\frac{b}{a} + 2\]

Теперь найдем произведение корней:
\[1 \cdot (4 - 7) \cdot x_3 = \frac{d}{a}\]

Упростим уравнение:
\[-3x_3 = \frac{d}{a}\]
\[x_3 = -\frac{d}{3a}\]

Таким образом, третий корень равен:
\[x_3 = -\frac{b}{a} + 2 = -\frac{d}{3a}\]

Так как у нас есть два условия, выраженные через одну и ту же переменную \(x_3\), мы можем приравнять их:
\[-\frac{b}{a} + 2 = -\frac{d}{3a}\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной, которое мы можем решить для нахождения коэффициентов уравнения.

Давайте продолжим:
\[-\frac{b}{a} + 2 = -\frac{d}{3a}\]

Перемножим обе части уравнения на \(3a\) для избавления от знаменателя:
\[-3b + 6a = -d\]

Возьмем оба коэффициента, \(c\) и \(d\), равными нулю, чтобы упростить уравнение:
\[6a = -d\]

Теперь мы можем записать наше кубическое уравнение с действительными коэффициентами:
\[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\]
\[6ax^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 6a = 0\]

Таким образом, кубическое уравнение с действительными коэффициентами, корнями которого являются 1 и (4 – 7), можно представить в виде:
\[6ax^3 + 6a = 0\]

Вы можете использовать это уравнение в дальнейших вычислениях или заданиях.