Какие значения переменных являются допустимыми для дроби -1/(x-5)(x-y)(x+2z)?

Для того чтобы определить допустимые значения переменных \(x\), \(y\) и \(z\) в дроби \(-\frac{1}{{(x-5)(x-y)(x+2z)}}\), нам нужно обратить внимание на те значения, которые делают знаменатель равным нулю. Поскольку дробь неопределена при делении на ноль, значения переменных должны быть такими, чтобы знаменатель не обращался в нуль.

Первым шагом рассмотрим знаменатель \((x-5)(x-y)(x+2z)\) по отдельности. Для того, чтобы определить, при каких значениях переменных он равен нулю, мы должны решить уравнения:
\[
x-5 = 0,
\]
\[
x-y = 0,
\]
\[
x+2z = 0.
\]

Первое уравнение \(x - 5 = 0\) дает нам \(x = 5\). Значит, \(x\) не может быть равно 5, так как это приведет к делению на ноль.

Второе уравнение \(x - y = 0\) даст нам \(x = y\). Это означает, что \(x\) и \(y\) не могут быть одинаковыми, так как это также приведет к делению на ноль.

Третье уравнение \(x + 2z = 0\) дает нам \(z = -\frac{x}{2}\). В данном случае, переменная \(z\) может принимать любые значения, так как она не входит непосредственно в знаменатель, а только через переменную \(x\).

Итак, допустимые значения переменных \(x\), \(y\) и \(z\) в дроби \(-\frac{1}{{(x-5)(x-y)(x+2z)}}\) следующие:
\begin{align*}
x &\neq 5, \\
x &\neq y, \\
z &\text{ - любое значение.}
\end{align*}
Обращаю внимание, что выбор значения переменной \(z\) не оказывает непосредственного влияния на значение знаменателя. Однако, для получения конкретного числового значения дроби при заданных значениях \(x\), \(y\) и \(z\), необходимо также указать конкретные значения для этих переменных.