Какое количество восьмизначных натуральных чисел существует, в которых каждая цифра, кроме крайних, равна произведению

Давайте разберем эту задачу пошагово, чтобы было понятно.

Пусть наше восьмизначное число имеет вид: \(\_\_\_ \cdot \_\_\_ \cdot \_\_\_ \cdot \_\_\_ \cdot \_\_\_ \cdot \_\_\_ \cdot \_\_\_ \cdot \_\_\_\). Мы знаем, что каждая цифра, кроме крайних (первой и последней), равна произведению своих соседних цифр.

Сперва давайте рассмотрим варианты для второй цифры. Так как она должна быть равна произведению первой и третьей цифр, а каждая цифра от 1 до 9 может быть первой цифрой, то у нас имеется 9 возможных вариантов.

Теперь у нас есть два варианта для второй цифры и два варианта для третьей цифры (она должна быть равна произведению второй и четвертой цифр). Это дает нам \(2 \times 2 = 4\) возможных комбинации.

Точно так же, для каждой из оставшихся цифр мы можем выбрать две возможных цифры (текущая цифра равна произведению предыдущей и последующей цифр), поэтому количество вариантов не изменяется.

Получается, что у нас есть 4 варианта для каждой из шести оставшихся цифр. Таким образом, общее количество возможных чисел равно \(4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4\), что равно \(4^6\).

Таким образом, количество восьмизначных натуральных чисел, в которых каждая цифра, кроме крайних, равна произведению своих соседних цифр, составляет \(4^6 = 4096\).

Я надеюсь, что это решение объясняет задачу и даёт вам нужную информацию. Пожалуйста, дайте знать, если у вас есть еще вопросы!