Какое количество раз тело остановится (v=0) в течение первых 5,5 секунд его движения, учитывая, что при движении

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно найти количество раз, когда скорость тела равняется нулю в течение первых 5,5 секунд его движения. Для этого мы будем использовать формулу для нахождения скорости \( v(t) \) на основе функции \( S(t) \).

Данная функция \( S(t) \) описывает изменение расстояния от начальной точки в зависимости от времени движения тела. Давайте найдем производную этой функции, чтобы найти скорость \( v(t) \):

\[ v(t) = \frac{{dS}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} \left(\frac{{t^3}}{{3}} - \frac{{11t^2}}{{2}} + 30t + 4\right) \]

Для нахождения производной, нам нужно взять производные от каждого слагаемого по отдельности. Производная константы 4 равна нулю, поэтому мы можем проигнорировать ее. Производная будет выглядеть следующим образом:

\[ v(t) = \frac{{dS}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} \left(\frac{{t^3}}{{3}} - \frac{{11t^2}}{{2}} + 30t\right) \]

Теперь возьмем производные каждого слагаемого:

\[ v(t) = \frac{{d}}{{dt}} \left(\frac{{t^3}}{{3}}\right) - \frac{{d}}{{dt}} \left(\frac{{11t^2}}{{2}}\right) + \frac{{d}}{{dt}} \left(30t\right) \]

\[ v(t) = \frac{{3t^2}}{3} - \frac{{22t}}{2} + 30 \]

Упростим это выражение:

\[ v(t) = t^2 - 11t + 30 \]

Теперь нам нужно найти корни уравнения \( v(t) = 0 \), чтобы найти значения времени, когда скорость равна нулю. Для этого мы используем квадратное уравнение. Решим его:

\[ t^2 - 11t + 30 = 0 \]

Для этого уравнения мы можем найти два значения времени. Выпишем формулу:

\[ t = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]

Для нашего уравнения значения коэффициентов таковы: \( a = 1 \), \( b = -11 \), \( c = 30 \). Подставим их в формулу:

\[ t = \frac{{-(-11) \pm \sqrt{{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}}}{{2 \cdot 1}} \]

\[ t = \frac{{11 \pm \sqrt{{121 - 120}}}}{{2}} \]

\[ t = \frac{{11 \pm \sqrt{{1}}}}{{2}} \]

\[ t = \frac{{11 \pm 1}}{{2}} \]

Итак, у нас получаются два возможных значения для времени:

\[ t_1 = \frac{{11 + 1}}{{2}} = 6 \]
\[ t_2 = \frac{{11 - 1}}{{2}} = 5 \]

Следовательно, скорость тела становится равной нулю два раза в течение первых 5,5 секунд его движения.