Какое количество полных оборотов совершит маховик до полной остановки, если его угловая скорость изначально составляет

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать уравнение движения механической системы, связанное с угловым ускорением.

У нас имеется маховик, который исходно имеет угловую скорость \( \omega_0 = 10\pi \) рад/с и замедляется с угловым ускорением \( \alpha = -5\pi \) рад/с².

Первым шагом мы можем определить угловое расстояние, которое маховик пройдет до полной остановки. Используем формулу углового расстояния для равномерно замедляющегося движения:

\[ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \]

Где \( \theta \) - угловое расстояние, \( \omega_0 \) - начальная угловая скорость, \( \alpha \) - угловое ускорение и \( t \) - время.

Однако нам известно, что искомое значение - количество полных оборотов. Мы знаем, что полный оборот составляет \( 2\pi \) радианов. Таким образом, мы можем перейти к следующему уравнению:

\[ \theta = n \cdot 2\pi \]

Где \( n \) - количество полных оборотов.

Теперь мы можем объединить эти два уравнения и решить задачу.

\[ \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = n \cdot 2\pi \]

Заменяя значения \( \omega_0 = 10\pi \) и \( \alpha = -5\pi \), получаем:

\[ 10\pi t - \frac{5}{2}\pi t^2 = n \cdot 2\pi \]

Для получения количества полных оборотов \( n \) перепишем уравнение:

\[ 10t - \frac{5}{2}t^2 = 2n \]

Теперь мы можем решить это уравнение. Давайте найдем значение времени \( t \), которое понадобится маховику для полной остановки.

\[ \frac{5}{2}t^2 - 10t + 2n = 0 \]

Здесь \( a = \frac{5}{2} \), \( b = -10 \) и \( c = 2n \).

Используем квадратное уравнение для нахождения значения \( t \):

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставляем известные значения:

\[ t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(\frac{5}{2})(2n)}}{2(\frac{5}{2})} \]

\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 20n}}{5} \]

Мы нашли значение времени \( t \) в зависимости от количества полных оборотов \( n \).

Таким образом, количество полных оборотов, которое маховик совершит до полной остановки, будет равно количеству корней уравнения \( t \):

\[ n_1 = \frac{10 + \sqrt{100 - 20n}}{5} \]
\[ n_2 = \frac{10 - \sqrt{100 - 20n}}{5} \]

Ответом будет наибольшее целое значение количества полных оборотов \( n \).