Какое количество чёрных и красных стульев можно использовать так, чтобы ни один из чёрных стульев не стоял рядом?

Данная задача можно решить следующим образом:

Пусть у нас есть общее количество стульев \(n\) (чёрных и красных стульев). Необходимо найти количество вариантов расстановки этих стульев таким образом, чтобы ни один из чёрных стульев не стоял рядом.

Для начала рассмотрим случай, когда у нас нет ограничений и любые стулья могут стоять рядом друг с другом. В этом случае, для каждого стула мы можем выбрать один из двух цветов - либо чёрный, либо красный. Таким образом, всего у нас будет \(2^n\) возможных вариантов расстановки стульев.

Однако, из этого количества нам необходимо исключить случаи, когда чёрные стулья стоят рядом друг с другом. Для этого рассмотрим следующее:

1. Предположим, что у нас есть \(k\) чёрных стульев. В этом случае, между ними будет \(k-1\) свободное место, на котором мы можем разместить красный стул.

2. Допустим, что у нас есть \(m\) свободных мест, на которых мы можем разместить красный стул. В этом случае, у нас будет \(m+1\) размещение чёрных стульев.

Таким образом, чтобы получить общее количество вариантов расстановки стульев, в которых чёрные стулья не стоят рядом, мы должны вычесть количество вариантов, в которых чёрные стулья стоят рядом, из общего количества возможных вариантов.

Предположим, что у нас есть \(u\) свободных мест, на которых мы можем разместить чёрные и красные стулья. В этом случае, всего у нас будет \(\binom{u}{k}\) способов выбрать места для чёрных стульев.

Теперь вычислим общее количество вариантов расстановки чёрных стульев, которое можно определить, как \(\binom{u}{k}\) способов выбрать места для чёрных стульев.

Таким образом, общее количество вариантов расстановки стульев, в которых чёрные стулья не стоят рядом, составляет

\[
2^n - \sum_{k=1}^{n-1}\binom{u}{k}
\]

где \(u = n - 1\).

Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам понять, как определить количество чёрных и красных стульев, чтобы ни один из чёрных стульев не стоял рядом.