Каковы значения высоты H и радиуса основания r для цилиндра с наибольшим объемом, если его полная поверхность равна

Каковы значения высоты H и радиуса основания r для цилиндра с наибольшим объемом, если его полная поверхность равна 6π? В ответе напишите значение выражения.
Мороз

Мороз

Данная задача связана с определением параметров цилиндра с наибольшим объемом при заданном значении полной поверхности.

Для начала, давайте разберемся, как вычислить объем цилиндра и формулу для его полной поверхности.

Объем V цилиндра определяется по формуле:

V=πr2H,

где r - радиус основания цилиндра, H - высота цилиндра.

Полная поверхность цилиндра S складывается из площадей двух оснований и поверхности бокового цилиндрического мантии:

S=2πr2+2πrH=6π.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

{πr2H=12(6π2πr2)2πr2+2πrH=6π

Разделим первое уравнение на π:

r2H=12(62r2).

Теперь выразим H:

H=12r2(62r2)=3r2.

Подставляя выражение для H во второе уравнение:

2πr2+2πr(3r2)=6π.

Упростим это уравнение:

2πr2+6πr2πr3=6π.

Теперь представим уравнение в виде кубического уравнения и решим его для r:

2πr3+2πr2+6πr6π=0.

Мы заметим, что π можно сократить, тогда уравнение примет вид:

2r3+2r2+6r6=0.

Разделим это уравнение на -2, чтобы упростить его:

r3r23r+3=0.

Мы видим, что r=1 является одним из корней этого уравнения. Осталось разложить его на множители и найти остальные два корня.

Применим синтетическое деление и разложим уравнение r3r23r+3=0:

(r1)(r2+3)=0.

Таким образом, мы получаем два дополнительных корня: r2+3=0 и r1=0, что даёт нам r1=1 и r2=3.

Однако, из физических соображений радиус не может быть отрицательным, поэтому мы отбрасываем значение r2=3.

Теперь найдем соответствующие значения высоты H для каждого значения r:

H1=3(1)2=2,H2=3(3)2=33=0.

Таким образом, значения высоты H и радиуса r для цилиндра с наибольшим объемом равны H=2 и r=1.

Теперь, подставляя полученные значения в формулу для объема цилиндра,

V=πr2H,

получаем:

V=π(1)2(2)=2π.

Итак, максимальный объем цилиндра равен 2π. Ответ: 2π.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello