Каковы значения высоты H и радиуса основания r для цилиндра с наибольшим объемом, если его полная поверхность равна

Данная задача связана с определением параметров цилиндра с наибольшим объемом при заданном значении полной поверхности.

Для начала, давайте разберемся, как вычислить объем цилиндра и формулу для его полной поверхности.

Объем \(V\) цилиндра определяется по формуле:

\[V = \pi r^2 H,\]

где \(r\) - радиус основания цилиндра, \(H\) - высота цилиндра.

Полная поверхность цилиндра \(S\) складывается из площадей двух оснований и поверхности бокового цилиндрического мантии:

\[S = 2\pi r^2 + 2\pi r H = 6\pi.\]

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

\[\begin{cases}
\pi r^2 H = \frac{1}{2}(6\pi - 2\pi r^2)\\
2\pi r^2 + 2\pi r H = 6\pi
\end{cases}\]

Разделим первое уравнение на \(\pi\):

\[r^2 H = \frac{1}{2}(6 - 2r^2).\]

Теперь выразим \(H\):

\[H = \frac{1}{2r^2}(6 - 2r^2) = 3 - r^2.\]

Подставляя выражение для \(H\) во второе уравнение:

\[2\pi r^2 + 2\pi r (3 - r^2) = 6\pi.\]

Упростим это уравнение:

\[2\pi r^2 + 6\pi r - 2\pi r^3 = 6\pi.\]

Теперь представим уравнение в виде кубического уравнения и решим его для \(r\):

\[-2\pi r^3 + 2\pi r^2 + 6\pi r - 6\pi = 0.\]

Мы заметим, что \(\pi\) можно сократить, тогда уравнение примет вид:

\[-2 r^3 + 2 r^2 + 6 r - 6 = 0.\]

Разделим это уравнение на -2, чтобы упростить его:

\[r^3 - r^2 - 3r + 3 = 0.\]

Мы видим, что \(r = 1\) является одним из корней этого уравнения. Осталось разложить его на множители и найти остальные два корня.

Применим синтетическое деление и разложим уравнение \(r^3 - r^2 - 3r + 3 = 0\):

\[(r-1)(r^2 + 3) = 0.\]

Таким образом, мы получаем два дополнительных корня: \(r^2 + 3 = 0\) и \(r-1 = 0\), что даёт нам \(r_1 = 1\) и \(r_2 = -\sqrt{3}\).

Однако, из физических соображений радиус не может быть отрицательным, поэтому мы отбрасываем значение \(r_2 = -\sqrt{3}\).

Теперь найдем соответствующие значения высоты \(H\) для каждого значения \(r\):

\[\begin{align*}
H_1 &= 3 - (1)^2 = 2, \\
H_2 &= 3 - (-\sqrt{3})^2 = 3 - 3 = 0.
\end{align*}\]

Таким образом, значения высоты \(H\) и радиуса \(r\) для цилиндра с наибольшим объемом равны \(H = 2\) и \(r = 1\).

Теперь, подставляя полученные значения в формулу для объема цилиндра,

\[V = \pi r^2 H,\]

получаем:

\[V = \pi (1)^2 (2) = 2\pi.\]

Итак, максимальный объем цилиндра равен \(2\pi\). Ответ: \(2\pi\).