Каковы значения высоты H и радиуса основания r для цилиндра с наибольшим объемом, если его полная поверхность равна 6π? В ответе напишите значение выражения.
Мороз
Данная задача связана с определением параметров цилиндра с наибольшим объемом при заданном значении полной поверхности.
Для начала, давайте разберемся, как вычислить объем цилиндра и формулу для его полной поверхности.
Объем цилиндра определяется по формуле:
где - радиус основания цилиндра, - высота цилиндра.
Полная поверхность цилиндра складывается из площадей двух оснований и поверхности бокового цилиндрического мантии:
Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
Разделим первое уравнение на :
Теперь выразим :
Подставляя выражение для во второе уравнение:
Упростим это уравнение:
Теперь представим уравнение в виде кубического уравнения и решим его для :
Мы заметим, что можно сократить, тогда уравнение примет вид:
Разделим это уравнение на -2, чтобы упростить его:
Мы видим, что является одним из корней этого уравнения. Осталось разложить его на множители и найти остальные два корня.
Применим синтетическое деление и разложим уравнение :
Таким образом, мы получаем два дополнительных корня: и , что даёт нам и .
Однако, из физических соображений радиус не может быть отрицательным, поэтому мы отбрасываем значение .
Теперь найдем соответствующие значения высоты для каждого значения :
Таким образом, значения высоты и радиуса для цилиндра с наибольшим объемом равны и .
Теперь, подставляя полученные значения в формулу для объема цилиндра,
получаем:
Итак, максимальный объем цилиндра равен . Ответ: .
Для начала, давайте разберемся, как вычислить объем цилиндра и формулу для его полной поверхности.
Объем
где
Полная поверхность цилиндра
Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
Разделим первое уравнение на
Теперь выразим
Подставляя выражение для
Упростим это уравнение:
Теперь представим уравнение в виде кубического уравнения и решим его для
Мы заметим, что
Разделим это уравнение на -2, чтобы упростить его:
Мы видим, что
Применим синтетическое деление и разложим уравнение
Таким образом, мы получаем два дополнительных корня:
Однако, из физических соображений радиус не может быть отрицательным, поэтому мы отбрасываем значение
Теперь найдем соответствующие значения высоты
Таким образом, значения высоты
Теперь, подставляя полученные значения в формулу для объема цилиндра,
получаем:
Итак, максимальный объем цилиндра равен
Знаешь ответ?