Каковы значения высоты H и радиуса основания r для цилиндра с наибольшим объемом, если его полная поверхность равна

Данная задача связана с определением параметров цилиндра с наибольшим объемом при заданном значении полной поверхности.

Для начала, давайте разберемся, как вычислить объем цилиндра и формулу для его полной поверхности.

Объем $V$ цилиндра определяется по формуле:

$$V=\pi r^{2}H,$$

где $r$ - радиус основания цилиндра, $H$ - высота цилиндра.

Полная поверхность цилиндра $S$ складывается из площадей двух оснований и поверхности бокового цилиндрического мантии:

$$S=2\pi r^2+2\pi rH=6\pi .$$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$$\{\begin{array}{l}\pi r^{2}H=\frac{1}{2}(6\pi -2\pi r^2)\\ 2\pi r^2+2\pi rH=6\pi \end{array}$$

Разделим первое уравнение на $\pi$:

$$r^{2}H=\frac{1}{2}(6-2r^2).$$

Теперь выразим $H$:

$$H=\frac{1}{2r^2}(6-2r^2)=3-r^2.$$

Подставляя выражение для $H$ во второе уравнение:

$$2\pi r^2+2\pi r(3-r^2)=6\pi .$$

Упростим это уравнение:

$$2\pi r^2+6\pi r-2\pi r^3=6\pi .$$

Теперь представим уравнение в виде кубического уравнения и решим его для $r$:

$$-2\pi r^3+2\pi r^2+6\pi r-6\pi =0.$$

Мы заметим, что $\pi$ можно сократить, тогда уравнение примет вид:

$$-2r^3+2r^2+6r-6=0.$$

Разделим это уравнение на -2, чтобы упростить его:

$$r^3-r^2-3r+3=0.$$

Мы видим, что $r=1$ является одним из корней этого уравнения. Осталось разложить его на множители и найти остальные два корня.

Применим синтетическое деление и разложим уравнение $r^3-r^2-3r+3=0$:

$$(r-1)(r^2+3)=0.$$

Таким образом, мы получаем два дополнительных корня: $r^2+3=0$ и $r-1=0$, что даёт нам $r_1=1$ и $r_2=-\sqrt{3}$.

Однако, из физических соображений радиус не может быть отрицательным, поэтому мы отбрасываем значение $r_2=-\sqrt{3}$.

Теперь найдем соответствующие значения высоты $H$ для каждого значения $r$:

$$\begin{array}{rl}{H}_1& =3-(1{)}^2=2,\\ H_2& =3-(-\sqrt{3}{)}^2=3-3=0.\end{array}$$

Таким образом, значения высоты $H$ и радиуса $r$ для цилиндра с наибольшим объемом равны $H=2$ и $r=1$.

Теперь, подставляя полученные значения в формулу для объема цилиндра,

$$V=\pi r^{2}H,$$

получаем:

$$V=\pi (1{)}^2(2)=2\pi .$$

Итак, максимальный объем цилиндра равен $2\pi$. Ответ: $2\pi$.