Какое из двух положительных чисел является наибольшим, чтобы сумма квадратов одного числа и удвоенного квадрата другого

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим наши два положительных числа за \(x\) и \(y\). Условие гласит, что сумма квадратов одного числа и удвоенного квадрата другого числа должна быть минимальной, при условии, что их сумма равна какому-то числу \(S\).

Мы можем записать данное условие в виде уравнения:

\[x^2 + 2y^2 = S\]

Чтобы найти наибольшее значение одного из чисел, мы можем воспользоваться методом подстановки. Подставим выражение для \(x\) в уравнение и заменим его на \(S - x\):

\[(S - x)^2 + 2y^2 = S\]

Раскроем скобки:

\[S^2 - 2Sx + x^2 + 2y^2 = S\]

Упростим уравнение:

\[S^2 + (2y^2 - 2S)x + x^2 - S = 0\]

Так как коэффициенты при \(x\) являются постоянными значениями, а \(S\) - известное число, мы получили уравнение квадратного трёхчлена.

Теперь нам нужно применить метод дискриминантов, чтобы найти наибольшее значение \(x\). Для этого сначала найдём дискриминант уравнения:

\[D = (2y^2 - 2S)^2 - 4(x^2 - S)\]

Теперь найдём значение \(x\), когда дискриминант \(D\) равен нулю. Уравнение для дискриминанта будет выглядеть следующим образом:

\[(2y^2 - 2S)^2 - 4(x^2 - S) = 0\]

Разрешим это уравнение и найдём значение \(x\):

\[(2y^2 - 2S)^2 - 4(x^2 - S) = 0\]
\[4y^4 - 8y^2S + 4S^2 - 4x^2 + 4S = 0\]
\[4y^4 - 8y^2S - 4x^2 + 4S^2 + 4S = 0\]
\[4y^4 - 4x^2 - 8y^2S + 4S^2 + 4S = 0\]
\[4(y^4 - x^2 - 2y^2S + S^2 + S) = 0\]

Если мы внимательно посмотрим на это уравнение, то заметим, что независимо от значений \(y\) и \(S\) выражение \((y^4 - x^2 - 2y^2S + S^2 + S)\) всегда будет положительным или равным нулю. Получается, чтобы весь многочлен от \(x\) был равен нулю и чтобы получить наименьшую сумму квадратов, \(x\) должен быть равно \(0\). Таким образом, наибольшее значение из двух положительных чисел будет \(0\).

Ответ: Наибольшее значение одного из чисел, при котором сумма квадратов одного числа и удвоенного квадрата другого числа будет минимальной, равно \(0\).