Какое фокусное расстояние имеет линза, если расстояние между точечным источником света и экраном составляет 3м и линза

Для того чтобы решить данную задачу, нам нужно использовать формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_о} + \frac{1}{d_и}\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(d_о\) - расстояние от предмета до линзы, и \(d_и\) - расстояние от изображения до линзы.

У нас есть два различных положения, в которых линза образует четкое изображение, и расстояние между этими двумя положениями составляет 1м. Давайте обозначим эти положения как \(d_{о1}\) и \(d_{о2}\). Также у нас есть расстояние от источника света до экрана, которое составляет 3м, и мы можем обозначить его как \(d_э\).

В первом положении линза формирует изображение на расстоянии \(d_{и1}\) от линзы, поэтому расстояние от экрана до изображения будет равно \(d_э - d_{и1}\). Во втором положении линза формирует изображение на расстоянии \(d_{и2}\), и расстояние от экрана до изображения будет равно \(d_э - d_{и2}\).

Используя формулу тонкой линзы для каждого из положений, мы можем записать два уравнения:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_{о1}} + \frac{1}{d_{и1}}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_{о2}} + \frac{1}{d_{и2}}\]

Теперь мы можем найти фокусное расстояние линзы, решив систему уравнений. Подставим \(d_{и1} = d_{о1} - 1\) и \(d_{и2} = d_{о2} - 1\) в уравнения:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_{о1}} + \frac{1}{d_{о1} - 1}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_{о2}} + \frac{1}{d_{о2} - 1}\]

Мы можем умножить оба уравнения на \(d_{о1}(d_{о1} - 1)\) и \(d_{о2}(d_{о2} - 1)\) соответственно, чтобы избавиться от дробей:

\[d_{о1}(d_{о1} - 1) + f(d_{о1} - 1) = d_{о1}\]
\[d_{о2}(d_{о2} - 1) + f(d_{о2} - 1) = d_{о2}\]

Раскроем скобки и приведём уравнения к общему знаменателю:

\[d_{о1}^2 - d_{о1} + f(d_{о1} - 1) = d_{о1}\]
\[d_{о2}^2 - d_{о2} + f(d_{о2} - 1) = d_{о2}\]

После сокращения и переноса всех членов в одну сторону, получим:

\[d_{о1}^2 - 2d_{о1} + f = 0\]
\[d_{о2}^2 - 2d_{о2} + f = 0\]

Теперь у нас есть два уравнения квадратного типа, которые можно решить. Если мы найдём значения \(d_{о1}\) и \(d_{о2}\), то сможем найти фокусное расстояние \(f\) из любого уравнения.

Для нахождения корней этих квадратных уравнений можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

Применяя эту формулу к нашим уравнениям, мы получим:

\[D_1 = (-2)^2 - 4(1)(f)\]
\[D_2 = (-2)^2 - 4(1)(f)\]

Если дискриминант \(D\) положительный, то у уравнения есть два корня. Если \(D\) равен нулю, то у уравнения есть один корень. Если \(D\) отрицательный, то у уравнения нет действительных корней.

Чтобы выразить фокусное расстояние \(f\) через корни, мы можем использовать формулу:

\[f = \frac{b^2 - D}{4a}\]

После нахождения значений корней и подстановки их в формулу, получим фокусное расстояние \(f\).

Надеюсь, я дал достаточно подробное объяснение и шаги для решения задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или что-то будет непонятно, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать. Я всегда готов помочь!