Какое число нужно умножить на одно из уравнений, чтобы после сложения обоих уравенений получилось уравнение

Итак, чтобы найти число, которое нужно умножить на одно из уравнений, чтобы после сложения обоих уравнений получилось уравнение с переменной x только, нам нужно решить следующую задачу:

Пусть у нас есть два уравнения:

Уравнение 1: \(a \cdot x + b = c\)
Уравнение 2: \(d \cdot x + e = f\)

Наша цель - найти число \(k\), которое нужно умножить на одно из уравнений, чтобы после сложения обоих уравнений получилось уравнение, где переменная x будет присутствовать только один раз.

Чтобы это сделать, мы умножим оба уравнения на числа, чтобы получить одинаковые коэффициенты перед переменной x.

Умножим первое уравнение на \(d\) и второе уравнение на \(a\):

\(d \cdot (a \cdot x + b) = d \cdot c\)
\(a \cdot (d \cdot x + e) = a \cdot f\)

Распределим полученные произведения:

\(a \cdot d \cdot x + d \cdot b = d \cdot c\)
\(a \cdot d \cdot x + a \cdot e = a \cdot f\)

Теперь сложим полученные уравнения и выпишем все пошагово:

\((a \cdot d \cdot x + d \cdot b) + (a \cdot d \cdot x + a \cdot e) = (d \cdot c) + (a \cdot f)\)

Сгруппируем по переменной x:

\(a \cdot d \cdot x + a \cdot d \cdot x + d \cdot b + a \cdot e = d \cdot c + a \cdot f\)

Складываем коэффициенты при переменной x и коэффициенты без переменной x:

\(2 \cdot a \cdot d \cdot x + d \cdot b + a \cdot e = d \cdot c + a \cdot f\)

Получаем уравнение, где переменная x присутствует только один раз. Теперь мы можем найти нужное нам число \(k\), умножив оба уравнения на \(\frac{1}{2 \cdot a \cdot d}\):

\(k \cdot (2 \cdot a \cdot d \cdot x + d \cdot b + a \cdot e) = k \cdot (d \cdot c + a \cdot f)\)

\(k \cdot (2 \cdot a \cdot d \cdot x) + k \cdot (d \cdot b + a \cdot e) = k \cdot (d \cdot c + a \cdot f)\)

Теперь мы получили уравнение, где в левой и правой частях присутствуют одинаковые выражения с коэффициентами при переменной x. Коэффициент перед x равен \(2 \cdot a \cdot d \cdot k\), и чтобы оставить только переменную x в уравнении, нам необходимо выбрать значение \(k\), чтобы \(2 \cdot a \cdot d \cdot k = 1\).

Таким образом, число \(k\) должно быть обратным к \(2 \cdot a \cdot d\), то есть \(k = \frac{1}{2 \cdot a \cdot d}\).

Подставив это значение \(k\) в наше уравнение, мы получим:

\(\frac{1}{2 \cdot a \cdot d} \cdot (2 \cdot a \cdot d \cdot x + d \cdot b + a \cdot e) = \frac{1}{2 \cdot a \cdot d} \cdot (d \cdot c + a \cdot f)\)

\(x + \frac{d \cdot b + a \cdot e}{2 \cdot a \cdot d} = \frac{d \cdot c + a \cdot f}{2 \cdot a \cdot d}\)

Таким образом, если мы умножим первое уравнение на \(\frac{1}{2 \cdot a \cdot d}\), мы можем получить уравнение, где переменная x присутствует только один раз.