Какое наибольшее количество коней n может быть размещено на шахматной доске, если среди любой группы из 8 коней

Давайте рассмотрим данную задачу.

Итак, нам нужно определить максимальное количество коней \(n\), которое можно разместить на шахматной доске размером 8x8 таким образом, чтобы среди любой группы из 8 коней обязательно находились два коня, угрожающих друг другу.

Для начала, давайте предположим, что мы можем разместить на доске больше, чем 8 коней без возникновения угрозы. Предположим, что мы разместили 9 коней.

Теперь давайте выберем произвольный конь из этих девяти и рассмотрим, с какими конями он может находиться в угрозе. Всего на доске имеется 8 клеток, на каждой из которых может находиться конь. Обозначим каждую из этих клеток буквами от "A" до "H" по горизонтали и числами от 1 до 8 по вертикали.

Предположим, что выбранный нами конь находится в клетке "A1". Тогда он угрожает соседним клеткам "B3" и "C2". Это означает, что на этих двух клетках не может быть других коней. В случае, если на каждой из клеток "B3" и "C2" находится по одному коню, то выбранный конь не принадлежит к группе, где обязательно должны находиться два угрожающих друг другу коня, так как он не угрожает ни одному из них. Но если на одной из этих клеток уже находится конь, то с ним обязательно должен находиться конь из группы из 8 коней, иначе выбранный нами конь и другой конь нарушают условие задачи.

Рассмотрим конкретный случай, когда на клетке "B3" находится конь. Это означает, что конь в клетке "A1" уже образует пару с конем на клетке "B3". Давайте рассмотрим другую клетку "C2", которая также угрожается конем из группы из 8 коней. На этой клетке не может находиться конь, так как он уже образует пару с конем на клетке "B3". Поэтому, независимо от позиций остальных коней, мы не можем разместить на доске больше 8 коней, удовлетворяющих условию задачи.

Таким образом, максимальное количество коней \(n\) составляет 8.

Мы доказали, что нельзя разместить на шахматной доске более 8 коней таким образом, чтобы среди любой группы из 8 коней обязательно находились два коня, угрожающих друг другу.