Какое число можно представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:3

Чтобы решить данную задачу, давайте представим три положительных слагаемых в виде \( x, 3x\) и \( y\), где значение \( x\) будет меньше значения \( y\).

Теперь, согласно условию задачи, два слагаемых должны относиться как 1:3. Поскольку первое слагаемое равно \( x\), второе слагаемое будет 3 раза больше и будет равно \( 3x\).

Таким образом, сумма всех трех слагаемых будет равна: \( x + 3x + y\) или \( 4x + y\).

Теперь давайте рассмотрим условие, что произведение всех трех слагаемых должно быть максимальным.

Произведение трех слагаемых можно выразить как \( x \cdot 3x \cdot y\) или \( 3x^2y\).

Чтобы найти максимальное значение этого выражения, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для этого найдем производную данного выражения по \( x\) и приравняем ее к нулю:

\[\frac{{d(3x^2y)}}{{dx}} = 0\]

\[\frac{{6xy}}{{dx}} = 0\]

Отсюда следует, что \( y\) не зависит от \( x\) и имеет постоянное значение.

Когда производная равна нулю, мы находим точку экстремума, в данном случае - максимума. Таким образом, чтобы найти максимальное значение произведения, нам нужно выбрать \( x\), которое максимизирует выражение \( 3x^2y\).

Поскольку \( y\) является постоянным, максимальное значение произведения будет достигаться, когда значение \( x\) максимально.

Из этого следует, что для максимума мы выбираем наибольшее возможное значение \( x\), которое является положительным.

Теперь вернемся к условию, что два слагаемых относятся как 1:3. Мы можем выбрать значения \( x\) и \( 3x\) следующим образом: \( x = 1\) и \( 3x = 3\).

Теперь найдем значение третьего слагаемого \( y\):

\( 4x + y = 4 \cdot 1 + y = 4 + y\)

Так как мы хотим, чтобы сумма была максимальной, выберем наибольшее возможное значение для \( y\), которое является положительным числом.

Следовательно, получившееся максимальное число, которое можно представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы два слагаемых относились как 1:3, будет равно \( 4 + y\), где \( y\) - наибольшее положительное число.

Ответом будет число \( 4 + y\), которое зависит от наибольшего значения \( y\).