Какое число Кате удалось точно определить после вычисления всех попарных сумм? 81, 90 и 99 - эти значения Кати получила

Чтобы решить данную задачу, нам нужно вычислить все попарные суммы чисел, которые написал Дима. Как только мы это сделаем, мы сможем определить, какое число Кате удалось точно определить.

Пусть числа, написанные Димой, обозначаются как \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\). Из условия мы знаем, что Катя вычислила следующие суммы:

\[
a+b = 81 \quad (1)
\]
\[
b+c = 90 \quad (2)
\]
\[
c+d = 99 \quad (3)
\]

Наша задача - определить наибольшее из написанных Димой чисел. Давайте посмотрим на эти уравнения и воспользуемся логикой, чтобы прийти к ответу.

Добавим уравнение (1) и (2), чтобы избавиться от \(b\):

\[
(a+b) + (b+c) = 81 + 90
\]
\[
a + 2b + c = 171 \quad (4)
\]

Теперь добавим уравнение (2) и (3), чтобы избавиться от \(c\):

\[
(b+c) + (c+d) = 90 + 99
\]
\[
b + 2c + d = 189 \quad (5)
\]

Теперь у нас есть два уравнения (4) и (5), которые содержат только переменные \(a\), \(b\) и \(d\). Мы можем использовать их, чтобы выразить одну из переменных через остальные и найти наибольшее число, написанное Димой.

Вычтем уравнение (4) из уравнения (5):

\[
(b + 2c + d) - (a + 2b + c) = 189 - 171
\]
\[
a - b + c - d = 18 \quad (6)
\]

Теперь мы имеем еще одно уравнение (6), которое содержит только переменные \(a\), \(b\) и \(d\). Мы можем использовать его, чтобы найти значение одной из переменных.

Из уравнения (2) мы видим, что \(b + c = 90\). Значит, \(c = 90 - b\). Подставим это значение в уравнение (6):

\[
a - b + (90 - b) - d = 18
\]
\[
a - 2b + 90 - d = 18 \quad (7)
\]

Теперь мы можем использовать уравнения (1), (3) и (7), чтобы найти значения переменных \(a\), \(b\) и \(d\).

Из уравнения (1) мы находим \(a + b = 81\), а из уравнения (3) мы находим \(c + d = 99\) и подставляем \(c = 90 - b\):

\[
(90 - b) + d = 99 \quad \Rightarrow \quad d = 9 + b \quad (8)
\]

Теперь мы можем подставить это значение \(d\) в уравнение (7):

\[
a - 2b + 90 - (9 + b) = 18
\]
\[
a - 3b + 81 = 18 \quad (9)
\]

Теперь у нас есть два уравнения (9) и (1), содержащие только переменные \(a\) и \(b\). Мы можем использовать их, чтобы найти значения этих переменных.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (9):

\[
(a - 3b + 81) - (a + b) = 18 - 81
\]
\[
-4b + 81 = -63
\]
\[
-4b = -63 - 81
\]
\[
-4b = -144 \quad (10)
\]

Теперь мы можем решить уравнение (10) и найти значение \(b\):

\[
b = \frac{-144}{-4} = 36
\]

Теперь, когда мы знаем значение \(b\), мы можем использовать его для нахождения значений \(a\) и \(d\). Подставим \(b = 36\) в уравнения (1) и (8):

\[
a + 36 = 81 \quad \Rightarrow \quad a = 81 - 36 = 45
\]

\[
d = 9 + 36 = 45
\]

Итак, мы нашли значения переменных: \(a = 45\), \(b = 36\) и \(d = 45\). Теперь мы можем определить наибольшее из написанных Димой чисел путем выбора максимального значения из \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\).

Ответ: Наибольшее число, написанное Димой, равно 45.