Какое будет произведение корней или корень, если уравнение log0,25 (12-x^2) + log16 16x^2=0 имеет только один корень?

Хорошо, давайте решим задачу. У нас дано уравнение \(\log_{0.25} (12-x^2) + \log_{16} 16x^2 = 0\) и нам нужно найти произведение корней или один корень этого уравнения.

Для начала, давайте объединим логарифмы с одинаковыми основаниями:

\(\log_{0.25} (12-x^2) + \log_{16} 16x^2 = 0\)

Перепишем в эквивалентную форму:

\(\log_{0.25} (12-x^2) + \frac{{\log_{0.25} 16x^2}}{{\log_{0.25} 16}} = 0\)

Используя свойства логарифмов, мы можем упростить выражение:

\(\log_{0.25} (12-x^2) + \frac{{\log_{0.25} 2^{4}x^2}}{{\log_{0.25} 2^{4}}}=0\)

\(\log_{0.25} (12-x^2) + \frac{{4\log_{0.25} 2x^2}}{{2}}=0\)

\(\log_{0.25} (12-x^2) + 2\log_{0.25} 2x^2 = 0\)

Теперь мы можем применить свойство суммы логарифмов:

\(\log_{0.25} [(12-x^2)(2x^2)^2] = 0\)

Далее, мы можем применить свойство равенства логарифма и экспоненты:

\(\frac{1}{{0.25}} = (12-x^2)(2x^2)^2\)

Распишем правую часть уравнения и упростим:

\(4 = (12-x^2)(4x^4)\)

Упростим еще более:

\(4 = 48x^4 - 4x^6\)

Перенесем все в одну сторону уравнения:

\(4x^6 - 48x^4 + 4 = 0\)

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной \(x^2\). Давайте заменим \(x^2\) на переменную \(t\):

\(4t^3 - 48t^2 + 4 = 0\)

Теперь мы можем факторизовать это уравнение:

\(4(t - 2)(t - 1)(t + 1) = 0\)

Так как у нас только один корень, то уравнение должно иметь кратный корень. Значит, \(t-2\) и \(t+1\) должны быть множителями с кратностью 2:

\((t - 2)(t + 1)^2 = 0\)

Раскроем скобки:

\(t - 2 = 0\) или \((t + 1)^2 = 0\)

Решим каждую из этих уравнений относительно \(t\):

Если \(t - 2 = 0\), то \(t = 2\)

Если \((t + 1)^2 = 0\), то \(t = -1\)

Теперь, чтобы найти \(x^2\), мы должны заменить \(t\) обратно на \(x^2\):

Если \(t = 2\), то \(x^2 = 2\)

Если \(t = -1\), то \(x^2 = -1\)

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, мы не можем принять \(x^2 = -1\) в нашем ответе.

Итак, уравнение имеет только один корень, \(x^2 = 2\). Чтобы найти \(x\), мы извлекаем корень из обеих сторон уравнения:

\(x = \pm \sqrt{2}\)

Ответ: произведение корней уравнения или один корень равен \(\sqrt{2}\) или \(-\sqrt{2}\).