Как привести дроби z^2/z^2−u^2 и z−u/9z+9u к одному знаменателю?

Чтобы привести дроби \(\frac{z^2}{z^2-u^2}\) и \(\frac{z-u}{9z+9u}\) к одному знаменателю, мы можем воспользоваться методом нахождения общего знаменателя.

Первым шагом мы должны разложить знаменатель \(z^2-u^2\) на множители с использованием формулы разности квадратов. Она гласит: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\). Применяя эту формулу в нашем случае, получим:

\[z^2 - u^2 = (z + u)(z - u)\]

Вторым шагом, мы можем записать исходные дроби с новыми знаменателями:

\[\frac{z^2}{(z + u)(z - u)}\] и \[\frac{z - u}{9z + 9u}\]

Теперь, чтобы привести эти дроби к общему знаменателю, мы можем умножить первую дробь на \(\frac{9z + 9u}{9z + 9u}\), а вторую дробь на \(\frac{z^2 - u^2}{z^2 - u^2}\). После умножения получим:

\[\frac{z^2(9z + 9u)}{(z + u)(z - u)(9z + 9u)}\] и \[\frac{(z - u)(z^2 - u^2)}{(z + u)(z - u)(9z + 9u)}\]

На третьем шаге мы можем объединить числители дробей:

\[\frac{z^2(9z + 9u) + (z - u)(z^2 - u^2)}{(z + u)(z - u)(9z + 9u)}\]

или после раскрытия скобок:

\[\frac{9z^3 + 9zu^2 + z^3 - z^2u - uz^2 + u^3}{(z + u)(z - u)(9z + 9u)}\]

На четвертом шаге, мы можем объединить подобные слагаемые в числителе:

\[\frac{10z^3 + 8zu^2 - uz^2 + u^3}{(z + u)(z - u)(9z + 9u)}\]

Таким образом, мы получили дробь с общим знаменателем, которая равна исходной задаче. Этот ответ детально поэтапно объясняет, как привести дроби к одному знаменателю и содержит пошаговое решение.