Каким свойством обладает натуральное число n в показателе степени функции f(x) = x^-n, если: 1) f(-5) < f(2); 2) f(7

Давайте рассмотрим каждый из этих случаев по очереди и найдем требуемые свойства натурального числа \( n \) в показателе степени функции \( f(x) = x^{-n} \).

1) Пусть \( f(-5) < f(2) \). Чтобы определить, какие именно значения \( n \) удовлетворяют этому неравенству, вычислим значения функции для данных аргументов.

Для \( x = -5 \) имеем \( f(-5) = (-5)^{-n} \), а для \( x = 2 \) - \( f(2) = 2^{-n} \).
Посмотрим на числитель и знаменатель этих дробей. Для первого случая у нас \( (-5)^{-n} \), что эквивалентно \( \frac{1}{(-5)^n} \), а для второго случая \( 2^{-n} \).
Мы знаем, что при возведении в отрицательную степень любое число, отличное от нуля, становится дробью. То есть, все числа отрицательные и неравные нулю, возведенные в отрицательную степень \( n \), имеют вид \( \frac{1}{x^n}, \), где \( x \) - положительное число (в данном случае \( -5 \)).

Таким образом, требуемого свойства нет для любого натурального числа \( n \) в этом случае.

2) Пусть \( f(7) > f(-1) \). Аналогично предыдущему случаю, вычислим значения функции для \( x = 7 \) и \( x = -1 \).

Для \( x = 7 \) имеем \( f(7) = 7^{-n} \), а для \( x = -1 \) - \( f(-1) = (-1)^{-n} \).

Здесь мы видим, что числитель и знаменатель обеих дробей являются положительными числами. Поэтому, чтобы \( f(7) \) было больше \( f(-1) \), нам нужно, чтобы \( n \) было нечетным числом (чтобы сохранить положительные знаки).

Таким образом, свойством натурального числа \( n \) является нечетность в этом случае.

3) Пусть \( f(-9) > f(4) \). Повторим анализ, вычислив значения функции для \( x = -9 \) и \( x = 4 \).

Для \( x = -9 \) имеем \( f(-9) = (-9)^{-n} \), а для \( x = 4 \) - \( f(4) = 4^{-n} \).

Здесь снова видим, что числитель и знаменатель являются положительными числами. Поэтому, чтобы \( f(-9) \) было больше \( f(4) \), нам нужно, чтобы \( n \) было четным числом (чтобы сохранить положительные знаки).

Таким образом, свойством натурального числа \( n \) является четность в этом случае.

В заключение, мы рассмотрели каждый из трех случаев и определили свойство натурального числа \( n \) в показателе степени функции \( f(x) = x^{-n} \):
1) Нет требуемого свойства для любого \( n \);
2) \( n \) должно быть нечетным;
3) \( n \) должно быть четным.