8. Какая высота проведена к основанию равнобедренного треугольника, если его боковая сторона составляет 10

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать некоторые свойства равнобедренного треугольника. Давайте начнем с построения треугольника.

Мы знаем, что дан равнобедренный треугольник, у которого одна из боковых сторон равна 10 дм, а основание равно 12 см. Чтобы найти высоту, проведенную к основанию, мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника, проведя медиану из вершины до основания. Высота треугольника проходит через середину основания и перпендикулярна к основанию.

Давайте рассмотрим медиану, проведенную из вершины треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то медиана будет являться биссектрисой и высотой одновременно. Биссектриса делит основание треугольника пополам, поэтому мы можем найти длину половины основания, используя следующее выражение:

$$\frac{12\text{см}}{2}=6\text{см}$$

Теперь нам нужно найти высоту треугольника. Давайте обозначим высоту как $h$. Мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном половиной основания, высотой и боковой стороной равнобедренного треугольника:

$$h^2+6^2={10}^2$$

$$h^2=100-36$$

$$h^2=64$$

$$h=\sqrt{64}=8\text{см}$$

Таким образом, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 8 см.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot \text{основание}\cdot \text{высота}$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 12\text{см}\cdot 8\text{см}=48{\text{см}}^2$$

Таким образом, площадь этого треугольника составляет 48 квадратных сантиметров.