8. Какая высота проведена к основанию равнобедренного треугольника, если его боковая сторона составляет 10

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать некоторые свойства равнобедренного треугольника. Давайте начнем с построения треугольника.

Мы знаем, что дан равнобедренный треугольник, у которого одна из боковых сторон равна 10 дм, а основание равно 12 см. Чтобы найти высоту, проведенную к основанию, мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника, проведя медиану из вершины до основания. Высота треугольника проходит через середину основания и перпендикулярна к основанию.

Давайте рассмотрим медиану, проведенную из вершины треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то медиана будет являться биссектрисой и высотой одновременно. Биссектриса делит основание треугольника пополам, поэтому мы можем найти длину половины основания, используя следующее выражение:

\[\frac{12 \, \text{см}}{2} = 6 \, \text{см}\]

Теперь нам нужно найти высоту треугольника. Давайте обозначим высоту как \(h\). Мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном половиной основания, высотой и боковой стороной равнобедренного треугольника:

\[h^2 + 6^2 = 10^2\]

\[h^2 = 100 - 36\]

\[h^2 = 64\]

\[h = \sqrt{64} = 8 \, \text{см}\]

Таким образом, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 8 см.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \, \text{см} \cdot 8 \, \text{см} = 48 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь этого треугольника составляет 48 квадратных сантиметров.