Каким образом можно привести дроби x^2/x^2−u^2 и x−u/3x+3u к общему знаменателю?

Чтобы привести данные дроби к общему знаменателю, мы должны найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Обозначим знаменатели первой дроби как \(a\) и второй дроби как \(b\).

Первая дробь имеет знаменатель \(x^2 - u^2\), а вторая дробь имеет знаменатель \(3x + 3u\).

Давайте разложим знаменатели на множители:

1. \(x^2 - u^2\):
Разность квадратов \(x^2 - u^2\) может быть раскрыта следующим образом:
\[x^2 - u^2 = (x - u)(x + u)\]

2. \(3x + 3u\):
Здесь мы можем вынести общий множитель 3:
\[3x + 3u = 3(x + u)\]

Теперь мы видим, что знаменатели разложились на множители.

Следующим шагом найдем НОК для \(a = (x - u)(x + u)\) и \(b = 3(x + u)\).

Разложим каждый из множителей на простые множители:

1. \(a = (x - u)(x + u)\):
Здесь знаменатель уже разложен на простые множители, и его НОК равен самому знаменателю \(a\).

2. \(b = 3(x + u)\):
Здесь у нас есть всего один простой множитель - число 3.

Теперь, чтобы найти НОК, мы должны выбрать все простые множители с максимальными показателями степени.

В нашем случае простой множитель \(3\) имеет максимальный показатель степени равный \(1\), а множителя в знаменателе первой дроби уже разложены на простые множители, поэтому новый общий знаменатель будет равен \(a \cdot 3\).

Итак, мы получили следующие дроби с общим знаменателем:

\[
\frac{{x^2}}{{x^2 - u^2}} = \frac{{x^2 \cdot 3}}{{a \cdot 3}}
\]

\[
\frac{{x - u}}{{3x + 3u}} = \frac{{(x - u) \cdot a}}{{3(x + u) \cdot a}}
\]

Здесь \(a\) представляет собой \(x + u\), и мы видим, что общий знаменатель для обеих дробей - это \(a \cdot 3\).