Какая будет новая формула для разности квадратов в следующих задачах? 1) Как раскладывается на множители выражение

Конечно! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку, начнем с первой.

1) Для того чтобы разложить на множители выражение \((2x-1)^2 - 25\), мы можем использовать формулу разности квадратов, которая имеет вид:

\[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\]

В данном случае \(a\) будет равным \(2x\), а \(b\) - \(1\). Подставляем значения:

\((2x-1)^2 - 25 = (2x + 1)(2x - 1) - 25\)

Обоснование: Используя формулу разности квадратов, мы получили два множителя: \(2x + 1\) и \(2x - 1\), которые при умножении в сумме дают исходное выражение. Затем мы вычитаем \(25\) (это также является квадратом) от произведения двух множителей.

2) Для выражения \((a+3)^2 - (b-2)^2\) также можем использовать формулу разности квадратов:

\((a+3)^2 - (b-2)^2 = (a + 3 + (b - 2))(a + 3 - (b - 2))\)

Можно также упростить выражение в скобках:

\((a+3)^2 - (b-2)^2 = (a + 3 + b - 2)(a + 3 - b + 2)\)

Обоснование: Мы использовали формулу разности квадратов, где \(a\) эквивалентно выражению \(a + 3\), а \(b\) - \(b - 2\), и применили формулу полученную в первой задаче.

1) Для разложения на множители выражения \(125a^3 - 8b^3\), мы знаем формулу суммы кубов:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

В данном случае \((125a^3 - 8b^3)\) - это разность кубов, но мы можем изменить знак второго куба и использовать формулу суммы кубов:

\(125a^3 - 8b^3 = (5a)^3 - (2b)^3 = (5a - 2b)((5a)^2 + (5a)(2b) + (2b)^2)\)

Ответ: \(125a^3 - 8b^3 = (5a - 2b)((5a)^2 + (5a)(2b) + (2b)^2)\)

2) В случае выражения \(a^6 + 27b^3\), мы также можем использовать формулу суммы кубов:

\(a^6 + 27b^3 = (a^2)^3 + (3b)^3 = (a^2 + 3b)(a^4 - 3ba^2 + 9b^2)\)

Ответ: \(a^6 + 27b^3 = (a^2 + 3b)(a^4 - 3ba^2 + 9b^2)\)

3) Выражение \(x^6 - a^6\) также может быть разложено на множители, и мы можем использовать формулу разности кубов:

\(x^6 - a^6 = (x^2)^3 - (a^2)^3 = (x^2 - a^2)(x^4 + x^2a^2 + a^4)\)

Ответ: \(x^6 - a^6 = (x^2 - a^2)(x^4 + x^2a^2 + a^4)\)

4) Для разложения на множители выражения \(125a^3 - 8b^3\) мы можем использовать формулу разности кубов, которую мы использовали ранее:

\(125a^3 - 8b^3 = (5a)^3 - (2b)^3 = (5a - 2b)((5a)^2 + (5a)(2b) + (2b)^2)\)

Ответ: \(125a^3 - 8b^3 = (5a - 2b)((5a)^2 + (5a)(2b) + (2b)^2)\)

Теперь перейдем к следующим двум задачам, где нам нужно переписать выражения.

1) Выражение \((x-y)^2-2y(x-y)+x^2\) можно переписать следующим образом:

\((x-y)^2-2y(x-y)+x^2 = (x-y)^2 - 2xy + 2y^2 + x^2\)

Обоснование: Мы раскрыли скобки \(2y(x-y)\), заменив \(x\) на \(-x\) и \(y\) на \(-y\), и раскрыли скобки \(x^2\).

2) Выражение \((x+y)^2+(x^2-4y^2)+5x\) может быть переписано так:

\((x+y)^2+(x^2-4y^2)+5x = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 4y^2 + 5x\)

Обоснование: Мы раскрыли квадратные скобки \((x + y)^2\) и объединили подобные члены.

Если у вас возникнут какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их! Я всегда готов помочь вам.